정의[편집 | 원본 편집]
환 [math]\displaystyle{ R }[/math]의 임의의 원소 [math]\displaystyle{ x }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ x^2=x }[/math]이면 [math]\displaystyle{ R }[/math]을 부울 환(Boolean ring)이라고 한다. 즉, 부울 환의 모든 원소는 멱등성을 가진다.
예시[편집 | 원본 편집]
- [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_2 }[/math]
- [math]\displaystyle{ (\mathcal{P}(S),\triangle,\cap) }[/math]. 이때 [math]\displaystyle{ \mathcal{P}(S) }[/math]는 [math]\displaystyle{ S }[/math]의 멱집합, [math]\displaystyle{ \triangle }[/math]는 대칭차집합 연산, [math]\displaystyle{ \cap }[/math]는 교집합 연산이다.
성질[편집 | 원본 편집]
- 부울 환의 부분환은 부울 환이다.
- [math]\displaystyle{ \operatorname{char} R=2 }[/math]이다. 이때 [math]\displaystyle{ \operatorname{char} }[/math]는 [math]\displaystyle{ R }[/math]의 지표이다.
영이 아닌 [math]\displaystyle{ x\in R }[/math]을 임의로 고르자. 그러면
- [math]\displaystyle{ \begin{align} x+x&=(x+x)^2\\ &=(x+x)(x+x)\\ &=x^2+x^2+x^2+x^2\\ &=x+x+x+x \end{align} }[/math]
이므로 정리하면
- [math]\displaystyle{ \begin{align} x+x&=x+x+0\\ &=x+x+(x+x)-(x+x)\\ &=(x+x+x+x)-(x+x)\\ &=(x+x)-(x+x)\\ &=0 \end{align} }[/math]
을 얻는다. 따라서 원하는 결론을 얻는다.
- 교환법칙이 성립한다.
[math]\displaystyle{ R }[/math]의 원소 [math]\displaystyle{ x,y }[/math]를 임의로 고르자. 그러면
- [math]\displaystyle{ \begin{align} 0&=(x+y)^2-(x+y)\\ &=x^2+xy+yx+y^2-x-y\\ &=x+xy+yx+y-x-y\\ &=xy+yx \end{align} }[/math]
이고 [math]\displaystyle{ \operatorname{char}R=2 }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ yx=-yx }[/math]이다. 따라서
- [math]\displaystyle{ xy-yx=0 }[/math]
이므로 원하는 결론을 얻는다.