체 (수학)

체(field)란 다음 axiom을 만족하는 ring [math]\displaystyle{ R }[/math]를 말한다.

1. For all [math]\displaystyle{ x,y\in R }[/math], [math]\displaystyle{ xy=yx }[/math]
2. For all [math]\displaystyle{ x \in R }[/math] except to [math]\displaystyle{ 0 }[/math], there is a [math]\displaystyle{ x^{-1}\in R }[/math] s.t. [math]\displaystyle{ xx^{-1}=x^{-1}x=1 }[/math]. Where [math]\displaystyle{ 1 }[/math] is the multiplicative identity of [math]\displaystyle{ R }[/math]

Field를 쓸 때는 R이라고 쓰지 않고 주로 소문자 k나 K, 또는 field의 맨 앞을 따서 F라고 쓴다.

도대체 뭐지

먼저 환 (수학)을 읽고 오면 좋습니다.

Field는 직관적으로 사칙연산이 자유로운 대수체계를 말한다. Abelian group이 덧셈과 뺄셈만 자유롭고 ring이 거기에 제약이 많은 곱셈을 추가했다면, field는 나눗셈을 추가함으로서 그 곱셈까지 매우 자유롭게 할 수 있음을 말한다. 그렇기에 보통 ring을 쓸 때의 R하고 구분해서 k나 K, F와 같은 방식으로 쓰는 것이다. Field는 ring의 일종이지만, ring하고는 뭔가가 많이 다른 대수적 체계로.

나눗셈을 할 수 있다는 성질은 너무나도 강력하다. 선형대수학을 하다가 commutative algebra를 하게 되면 어째서 field가 강력한지 알게 될 것이다. 모든 vector space가 basis를 가진다는 정리는 기본적으로 0을 제외한 모든 원소가 unit이어서 가능한 정리다. 어떤 원소를 표현하는 데 있어서 나눗셈만큼 좋은 것은 없어서 말이다. 하지만 ring에선 그것이 깨진다. 모든 module이 basis를 가지기는 커녕 vector x에 대해서 어떤 ring R의 0이 아닌 원소 a가 있어서 ax=0인데도 x가 0이 아닐 수도 있다. 이런 원소가 하나라도 있다면 절대로 그 module은 basis를 가질 수 없다. 아니, 어찌어찌해서 basis를 가지게 되었다고 하자. 이번엔 선형대수의 여러 가지 정리가 팍팍 깨진다. field k 위의 finite-dimensional vector space V와 V에서 V로 가는 linear transform T가 있다고 할 때, T가 injection이란 것과 surjection이라는 것은 동치다. 하지만 K가 field가 아니라면 상황은 달라진다. Injection인데 surjection이 아닐 수 있다는 것이다. 이런 함수를 만드는 방법은 간단히 나눗셈이 불가능한 원소로 곱하기만 하면 된다. 물론 수학자들이 이런 것들에 그냥 당하고만 있는 것도 아니라서 Nakayama lemma 같은 것을 만들었지만, 이것도 local ring이라는 한정된 ring에서만 성립하고, 이런 ring에서도 완전히 선형대수의 결과들을 베낄 수 있는 것도 아니다. 무엇보다 일반적인 ring에선 field하고 완전히 다른 상황이 나와버린다.

이런 field의 매우 강력한 성질들은 field theory란 새로운 분야를 만들었다. 그리고 field extension이라는 것을 자연스럽게 생각할 수 있고, 이는 Galois theory라는 수학에서 가장 아름다운 이론을 만들었다.

Field Extension

L/K가 field extension이라는 것은 L이 K를 subfield로 가질 때를 말한다. Subfield라고 말하면 될 것이지 굳이 field extension이라는 다른 말을 만든 이유는 subfield란 말은 L을 통해서 K를 만든다는 느낌이 강하지만, field extension은 거꾸로 K를 통해 L을 만든단 느낌이 강하기 때문이다.

L/K가 field extension이라면 L은 K-vector space 취급할 수 있다. 그렇다면 L이 finite-dimensional K-vector space일 때 L/K를 finite field extension이라고 하자. 그리고 그 dimension을 degree란 다른 이름으로 부르자.

그렇다면 field extension을 생각하는 이유는 무엇일까. 그러니까 K를 통해 L을 만드는 이유는 도대체 무엇일까? 그 이유는 K를 통해서 L을 알아내는 것이, L을 통해서 K를 알아내는 것보다 훨씬 더 쉽기 때문이다. 예를 들어서

[math]\displaystyle{ \Bbb{Q}(\sqrt{2})=\{a+b\sqrt{2}:a,b\in \Bbb{Q}\} }[/math]

를 생각해 보자. 그렇다면 이것은 field다. 하지만 이것을 직접 알아내는 것은 힘드니까 [math]\displaystyle{ \Bbb{Q}(\sqrt{2})/\Bbb{Q} }[/math]를 생각한다. field extension을 생각하는 것이다. 그 밑의 구조와 위의 구조가 어떻게 해서 함께 움직이는지 알 수 있다면 [math]\displaystyle{ \Bbb{Q}(\sqrt{2}) }[/math]의 정보도 같이 알아낼 수 있을 것이다.

Field theory에서 polynomial은 매우 중요한 역할을 한다. Field extension을 그냥 쳐다보면 뭔지 모르겠지만, polynomial은 이런 field extension이 정확히 어떻게 움직여야 하는지 알려준다. L/K가 field extension이라고 하자. 모든 a\in L에 대해서 적당한 polynomial with coefficient in K인 [math]\displaystyle{ p(x) }[/math]가 있어서 [math]\displaystyle{ p(a)=0 }[/math]일 때 L/K를 algebraic extension이라고 하자. 대부분의 field theory는 이런 algebraic extension 안에서 일어나는 일들을 서술한다.

간단한 예를 들자면 [math]\displaystyle{ \Bbb{C}/\Bbb{R} }[/math]는 algebraic extension이다. 덤으로 [math]\displaystyle{ L/\Bbb{R} }[/math]을 algebraic extension으로 만드는 L은 [math]\displaystyle{ \Bbb{R} }[/math]하고 [math]\displaystyle{ \Bbb{C} }[/math]. 이 둘밖에 없다. 이것은 그 유명한 대수학의 기본정리의 내용이다. 수천년 동안 이어졌던 자연수, 정수, 유리수, 실수, 복소수로 이어지는 다항식의 근 찾기 시도는 복소수에서 끝난다. (덤으로 실수계수 고차다항식은 항상 2차이하의 실수계수 다항식으로 인수분해가능하다는 사실도 포함되어 있음을 알 수 있다.)

모든 finite field extension은 algebraic extension이다. 어떤 finite-dimensional vector space의 subspace는 finite dimension을 가지니까.

K가 field일 때 K가 algebraically closed field라는 것은 L/K가 algebraic extension일 때 L=K일 때를 말한다. 대표적인 예로 [math]\displaystyle{ \Bbb{C} }[/math]가 있다. 그리고 K가 아무런 조건 없는 field일 때 K의 algebraic closure라는 것은 K를 subfield로 가지면서 algebraically closed field인 가장 작은 field를 말한다. 모든 field는 algebraic closure를 가지며, 이것은 up to isomorphism으로 유일하다.

K가 field고 p가 K에서 coefficient를 가지는 polynomial이라고 하자. 그렇다면 적당한 K를 subfield로 가지는 field L이 있어서 L/K를 finite extension으로 만들고 p의 zero는 L안에 반드시 존재한다. 그러니까 a\in L이 있어서 p(a)=0을 만족한다.

Galois theory

무엇인가?

Galois theory는 어떤 field의 원소의 위치가 어느 정도 되는지 group을 통해서 알 수 있게 해주는 이론이다. 우리가 어떤 원소가 무리수임을 증명하고 싶다고 할 때, 우리는 그 원소가 유리수임을 가정하고 무슨 조작을 한다. 예를 들면 [math]\displaystyle{ \sqrt{2} }[/math] 같은 경우는 서로 서로소인 두 자연수 [math]\displaystyle{ a,b }[/math]가 있으면

[math]\displaystyle{ \sqrt{2}=\frac{b}{a} \iff 2a^2=b^2 }[/math]

가 되고, [math]\displaystyle{ b^2 }[/math]가 짝수니 [math]\displaystyle{ b }[/math]도 짝수고, [math]\displaystyle{ b=2b' }[/math]라고 두면

[math]\displaystyle{ 2(b')^2=a^2 }[/math]

가 되고, [math]\displaystyle{ a }[/math]도 짝수인데 서로소가 되도록 뽑았다는 가정에 모순이므로 [math]\displaystyle{ \sqrt{2} }[/math]는 무리수다. 하지만 이런 식의 변형은

[math]\displaystyle{ \sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{7}+\sqrt{11} }[/math]

이 무리수임을 증명하는데 별로 쓸만하지 못 하다. 제곱을 하면 항이 25개가 되는 걸! 이럴 때 우리는 이 수가 가지고 있는 대칭성을 생각한다. [math]\displaystyle{ \Bbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5},\sqrt{7},\sqrt{11})/\Bbb{Q} }[/math]를 생각하고, 이 field extension이 가지고 있는 대칭성을 생각한다. 그 대칭성들이 완벽하게 저 숫자에 영향을 끼치지 못 한다면 저 수는 유리수고, 아니라면 저 수는 무리수다. 마치 어떤 직선을 중심으로 하는 선대칭변환으로 어떤 점을 옮겨도 전혀 안 움직인다면 그 선분은 그 직선 위에 있다고 볼 수 있다는 것과 같다고 할까. 그리고 저 숫자는 모든 대칭성에 대해서 고정되지 못 하고, 저 수는 무리수라는 결론을 얻는다.

L/K가 finite extension일 때

[math]\displaystyle{ \mathrm{Aut}(L/K)=\{\sigma:L\to L| \sigma\text{ is a field isomorphism and }\sigma(x)=x\text{ for all }x\in K\} }[/math]

라고 정의하자. 이는 직관적으로 L/K의 모든 대칭성들을 모아놓은 집합이라고 보면 된다. 이는 함수의 합성 기호로 group이 됨을 쉽게 알 수 있다.

L/K가 'separable extension이란 것은 모든 irreducible polynomial, 그러니까 인수분해가 K에서 불가능한 polynomial이 L에서 zero를 가지기만 한다면 K의 algebraic closure에선 완벽하게 서로 다른 일차항들의 곱으로 표현된다는 것이다. 이는 대칭성의 관점에서 본다면 모든 L의 원소들은 대칭성을 조금만 가지고 있는 것이 아닌 완벽한 대칭성을 가진다는 것이다. 선대칭변환을 하는데 변환 자체를 못 하면 안 되니까. 근데 여기엔 문제가 하나 있는데, 그 대칭한 결과가 다시 L 안에 들어가는가? L 안에 다시 들어가지 않는다면 많이 슬플 것이다.

L/K가 normal extension이란 것은 L에서 zero를 갖는 모든 irreducible polynomial with K-coefficient들은 L에서 완벽하게 일차항들의 곱으로 인수분해 할 수 있다는 것이다. 여기에서 L에서란 말은 coefficient들이 모두 L의 원소란 말이다. 이는 대칭성의 관점에서 보면 대칭한 결과가 다시 L안으로 들어온다는 것이다.

그렇다면 L/K가 Galois extension이라는 것은 L/K가 우리가 만족할 만한 모든 대칭성을 가진다는 의미를 가진다. 정확히는, L/K가 separable이고 normal인 extension일 때를 말한다. 그리고 이 때

[math]\displaystyle{ \mathrm{Gal}(L/K)=\mathrm{Aut}(L/K) }[/math]

라고 정의한다. 그리고 이 group을 Galois group이라고 부른다. L/K가 Galois extension이라는 것은 n이 L/K의 degree일 때

[math]\displaystyle{ n=|\mathrm{Aut}(L/K)| }[/math]

라는 것과 동치다.

Fundamental theorem of Galois theory는 L/K의 interminate field L'하고 [math]\displaystyle{ \mathrm{Gal}(L/K) }[/math]의 subgroup 사이의 관계를 말해준다. [math]\displaystyle{ \mathrm{Gal}(L/K) }[/math]의 subgroup 하나를 G라고 하면

[math]\displaystyle{ L^{G}=\{x\in L|\sigma(x)=x\text{ for all }\sigma\in G\} }[/math]

라고 정의하자. 그렇다면 [math]\displaystyle{ G\mapsto L^{G} }[/math]는

[math]\displaystyle{ \{\text{Subgroups of }\mathrm{Gal}(L/K)\}\longrightarrow \{\text{finite extensions }L'/K \text{ that is }L'\subset L\} }[/math]

를 bijection으로 만들고, 여기에다가 더해서 G가 [math]\displaystyle{ \mathrm{Gal}(L/K) }[/math]의 normal subgroup이란 것은 [math]\displaystyle{ L^{G}/K }[/math]가 Galois extension이라는 것과 동치고,

[math]\displaystyle{ \mathrm{Gal}(L^{G}/K)=\mathrm{Gal}(L/K)/G }[/math]

가 된다. 그리고 G가 normal이 아니더라도

[math]\displaystyle{ \mathrm{deg}(L^{G}/K)=|\mathrm{Gal}(L/K)|/|G| }[/math]

가 된다.

우리는 이를 이용해서 [math]\displaystyle{ \sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{7}+\sqrt{11} }[/math]이 무리수임을 보이자. K가 field고 a가 K엔 없는 원소일 때

[math]\displaystyle{ K(a)=\left\{\frac{p(a)}{q(a)}|p,q\text{ is polynomials with coefficient in }K\right\} }[/math]

라고 정의하고, [math]\displaystyle{ K(a,b) }[/math]는 [math]\displaystyle{ K(a)(b) }[/math]를 뜻한다고 하자. 여기에서 [math]\displaystyle{ K(a)(b)=K(b)(a) }[/math]이며, 쉽게 증명할 수 있다. 그렇다면

[math]\displaystyle{ \sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{7}+\sqrt{11}\in \Bbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5},\sqrt{7},\sqrt{11}) }[/math]

가 됨을 쉽게 알 수 있다. 그리고 오른쪽의 field를 간단하게 K라고 쓴다면 [math]\displaystyle{ K/\Bbb{Q} }[/math]의 degree는 32가 되고, Galois extension이 된다. 그리고 그 Galois group엔 [math]\displaystyle{ \sqrt{2} }[/math]가 곱해진 부분의 부호를 몽땅 다 바꿔버리는 원소가 포함되어 있고, (사실 그 Galois group은 정확하게

[math]\displaystyle{ \Bbb{Z}/2\Bbb{Z}\times \Bbb{Z}/2\Bbb{Z}\times \Bbb{Z}/2\Bbb{Z}\times \Bbb{Z}/2\Bbb{Z}\times \Bbb{Z}/2\Bbb{Z} }[/math]

가 된다.) 이것을 [math]\displaystyle{ \sigma_{\sqrt{2}} }[/math]라고 이름을 붙인다면

[math]\displaystyle{ \sigma_{\sqrt{2}}(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{7}+\sqrt{11})=-\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{7}+\sqrt{11} }[/math]

이 된다. 즉 가만히 있지 않고 움직였다! 따라서 fundamental theorem of Galois theory에 의해서 이 숫자는 무리수가 된다.

응용

이 증명방법을 응용하면 Galois가 처음으로 Galois theory를 탄생시킨 이유가 된 사칙연산과 제곱근만으로 방정식을 풀 수 있는가에 대한 답을 낼 수 있다. 사칙연산은 field에 아무런 영향을 주지 않고, 제곱근은 기껏해야 Galois group이 cyclic인 extension을 만들 뿐이다. 그렇다면 이렇게 cyclic group을 쌓다 보면 solvable group이 만들어지고, 이제 우리가 만든 그 group이 solvable이 아님을 보이면 근의 공식은 없는 것이 된다. 거꾸로 카르다노의 방법과 페라리의 방법은 Frobenius theorem으로 진짜로 존재하는 방법임을 보일 수 있다. 하지만 5차방정식부턴 그 해들을 모두 붙혀서 만든 field가 원래 field와 비교했을 때 해를 섞는 방법을 생각했을 때 그 Galois group이 [math]\displaystyle{ S_5 }[/math]가 되고, 이것은 solvable group이 아니라서 결국 5차방정식의 근의 공식은 없게 된다.

정수론에서도 많이 응용된다. 특히 prime ideal에 Galois group이 act하는데, 그걸 중심으로 Frobenius element라는 것을 정의한다. Galois group은 사실 정수론적 정보도 많이 갖고 있는 것이다!! 우리가 대학교 2학년 정수론에서 배우는 Legendre symbol은 사실 Galois group의 원소를 계산하는 것이며, 서로소들의 집합은 사실 cyclotomic extension의 Galois group인 것이다. 사실 정수론의 거의 모든 것은 Galois theory로 다시 표현할 수 있다는 것이다.

어떤 고등학교 교과서에서 Galois theory는 DNA 분석에도 이용된다는데... 추가바람