극대아이디얼

정의

환 [math]\displaystyle{ R }[/math]의 아이디얼 [math]\displaystyle{ M }[/math]이

• [math]\displaystyle{ M\ne R }[/math]
• [math]\displaystyle{ R }[/math]의 임의의 아이디얼 [math]\displaystyle{ J }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ M\subseteq J\subseteq R }[/math]이면 [math]\displaystyle{ M=J }[/math]이거나 [math]\displaystyle{ J=R }[/math]

을 만족하면 [math]\displaystyle{ M }[/math]을 극대아이디얼(maximal ideal)이라고 한다.

예시

• [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math]의 아이디얼 [math]\displaystyle{ (p) }[/math]는 [math]\displaystyle{ p }[/math]가 소수일 때 극대아이디얼이다.

성질

• 항등원이 있는 가환환 [math]\displaystyle{ R }[/math]의 아이디얼 [math]\displaystyle{ M }[/math]이 극대아이디얼일 필요충분조건은 몫환 [math]\displaystyle{ R/M }[/math]이 체인 것이다.
• 항등원이 있는 가환환의 모든 극대아이디얼은 소아이디얼이다.