노름

정의

V를 체 F 위에서 정의된 벡터공간이라고 하자. 함수 [math]\displaystyle{ \|\cdot \|: V\to\mathbb{R} }[/math]가 임의의 [math]\displaystyle{ \mathbf{x},\mathbf{y}\in V }[/math]와 임의의 [math]\displaystyle{ c\in F }[/math]에 대해

(1) [math]\displaystyle{ \|\mathbf{x}\|\ge 0 }[/math]

(1a) [math]\displaystyle{ \|\mathbf{x}\|=0 \Leftrightarrow \mathbf{x}=\mathbf{0} }[/math]

(2) [math]\displaystyle{ \| c\mathbf{x}\|=|c|\|\mathbf{x}\| }[/math]

(3) [math]\displaystyle{ \|\mathbf{x}+\mathbf{y}\|\le \|\mathbf{x}\|+\|\mathbf{y}\| }[/math]

를 만족하면 노름(norm)이라고 한다. 노름이 주어지는 벡터공간을 노름선형공간(normed linear space), 또는 노름벡터공간(normed vector space)이라고 한다. 만약 [math]\displaystyle{ \|\cdot \| }[/math]가 조건 (1), (2), (3)을 만족한다면 준노름(seminorm)이라고 한다.

내적공간에서 유도된 노름

[math]\displaystyle{ (\cdot,\cdot) }[/math]를 벡터공간 V에 주어진 내적이라고 하자. 그러면

[math]\displaystyle{ \|x\|=(x,x)^{\frac{1}{2}} }[/math]

로 정의된 함수 [math]\displaystyle{ \|\cdot\|:V\to \mathbb{R} }[/math]는 V 위의 노름이다. 이때 [math]\displaystyle{ \|\cdot\| }[/math]를 내적공간에서 유도되었다고 한다.

관련 항등식

• 평행사변형 항등식: [math]\displaystyle{ \|\cdot\| }[/math]가 내적공간 V 위에서 정의된 노름이면 [math]\displaystyle{ \frac{1}{2}(\|x+y\|^2+\|x-y\|^2)=\|x\|^2+\|y\|^2 }[/math]이다.

관련 부등식

• Hlawka의 부등식: [math]\displaystyle{ \|\cdot\| }[/math]가 내적공간 V 위에서 정의된 노름이면 [math]\displaystyle{ \|x+y\|+\|y+z\|+\|z+x\|\le \|x+y+z\|+\|x\|+\|y\|+\|z\| }[/math]이다.

같이 보기

• 내적
• 행렬 노름