평행사변형 항등식

진술

노름 [math]\displaystyle{ \|\cdot\|:V\to \mathbb{R} }[/math]이 내적공간에서 유도되었을 때, 임의의 [math]\displaystyle{ \mathbf{x},\mathbf{y}\in V }[/math]에 대해 다음 항등식이 성립한다.

[math]\displaystyle{ \|\mathbf{x}+\mathbf{y}\|^2+\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|^2=2\|\mathbf{x}\|^2+2\|\mathbf{y}\|^2 }[/math]

이 항등식을 평행사변형 항등식(parallelogram identity), 또는 평행사변형 법칙(parallelogram law)이라고 한다.

증명

[math]\displaystyle{ \|\cdot\| }[/math]이 내적공간에서 유도되었으므로 주어진 내적을 [math]\displaystyle{ (\cdot,\cdot) }[/math]이라고 하면

[math]\displaystyle{ \|\mathbf{x}+\mathbf{y}\|^2=(\mathbf{x}+\mathbf{y},\mathbf{x}+\mathbf{y})=(\mathbf{x},\mathbf{x})+(\mathbf{x},\mathbf{y})+(\mathbf{y},\mathbf{x})+(\mathbf{y},\mathbf{y}) }[/math]

[math]\displaystyle{ \|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|^2=(\mathbf{x}-\mathbf{y},\mathbf{x}-\mathbf{y})=(\mathbf{x},\mathbf{x})-(\mathbf{x},\mathbf{y})-(\mathbf{y},\mathbf{x})+(\mathbf{y},\mathbf{y}) }[/math]

이다. 두 식의 양변을 더하면

[math]\displaystyle{ \|\mathbf{x}+\mathbf{y}\|^2+\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|^2=2(\mathbf{x},\mathbf{x})+2(\mathbf{y},\mathbf{y}) }[/math]

이다. 그러면

[math]\displaystyle{ (\mathbf{x},\mathbf{x})=\|\mathbf{x}\|^2,\;(\mathbf{y},\mathbf{y})=\|\mathbf{y}\|^2 }[/math]

이므로 원하는 결론을 얻는다.

일반화

일반적으로 [math]\displaystyle{ \mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2,\cdots,\mathbf{x}_n\in V }[/math]에 대해 다음 식이 성립한다.

[math]\displaystyle{ \sum_{1\le i\lt j\le n}\|\mathbf{x}_i-\mathbf{x}_j\|^2+\left\|\sum_{i=1}^n \mathbf{x}_i \right\|^2 = n\sum_{i=1}^n \|\mathbf{x}_i\|^2 }[/math]

내적공간과의 관계

만약 노름이 주어진 실수체(복소수체)에서 평행사변형 항등식이 성립하면, 노름을 유도하는 내적이 존재한다는 것이 알려져 있다.

실수체에서

함수 [math]\displaystyle{ (\cdot,\cdot):V\to \mathbb{R} }[/math]을 다음과 같이 정의하자.

[math]\displaystyle{ (\mathbf{x},\mathbf{y})=\frac{1}{2}(\|\mathbf{x}+\mathbf{y}\|^2-\|\mathbf{x}\|^2-\|\mathbf{y}\|^2) }[/math]

이때 [math]\displaystyle{ (\cdot,\cdot) }[/math]이 내적임을 보이자.

조건 (1)과 (1a)

[math]\displaystyle{ \begin{align} (\mathbf{x},\mathbf{x})&=\frac{1}{2}(\|\mathbf{x}+\mathbf{x}\|^2-\|\mathbf{x}\|^2-\|\mathbf{x}\|^2)\\ &=\frac{1}{2}(4\|\mathbf{x}\|^2-2\|\mathbf{x}\|^2)\\ &=\|\mathbf{x}\|^2 \end{align} }[/math]

이고, [math]\displaystyle{ \|\mathbf{x}\|\in \mathbb{R} }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ \|\mathbf{x}\|^2\ge 0 }[/math]이다. 그리고 [math]\displaystyle{ (\mathbf{x},\mathbf{x})=0 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \|\mathbf{x}\|^2=0 }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ \|\mathbf{x}\|=0 }[/math]이다. 따라서 [math]\displaystyle{ \mathbf{x}=\mathbf{0} }[/math]이다.

조건 (2)

[math]\displaystyle{ \begin{align} (\mathbf{x},\mathbf{z})+(\mathbf{y},\mathbf{z})&=\frac{1}{2}(\|\mathbf{x}+\mathbf{z}\|^2-\|\mathbf{x}\|^2-\|\mathbf{z}\|^2)+\frac{1}{2}(\|\mathbf{y}+\mathbf{z}\|^2-\|\mathbf{y}\|^2-\|\mathbf{z}\|^2)\\ &=\frac{1}{2}(\|\mathbf{x}+\mathbf{z}\|^2+\|\mathbf{y}+\mathbf{z}\|^2)-\frac{1}{2}\|\mathbf{x}\|^2-\frac{1}{2}\|\mathbf{y}\|^2-\|\mathbf{z}\|^2\\ &=\frac{1}{4}\|\mathbf{x}+\mathbf{y}+2\mathbf{z}\|^2+\left(\frac{1}{4}\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|^2-\frac{1}{2}\|\mathbf{x}\|^2-\frac{1}{2}\|\mathbf{y}\|^2\right)-\|\mathbf{z}\|^2\\ &=\frac{1}{4}\|\mathbf{x}+\mathbf{y}+2\mathbf{z}\|^2-\frac{1}{4}\|\mathbf{x}+\mathbf{y}\|^2-\|\mathbf{z}\|^2\\ &=\left(\frac{1}{2}\|\mathbf{x}+\mathbf{y}+\mathbf{z}\|^2+\frac{1}{2}\|\mathbf{z}\|^2-\frac{1}{4}\|\mathbf{x}+\mathbf{y}\|^2\right)-\frac{1}{4}\|\mathbf{x}+\mathbf{y}\|^2-\|\mathbf{z}\|^2\\ &=\frac{1}{2}\|\mathbf{x}+\mathbf{y}+\mathbf{z}\|^2-\frac{1}{2}\|\mathbf{x}+\mathbf{y}\|^2-\frac{1}{2}\|\mathbf{z}\|^2\\ &=(\mathbf{x}+\mathbf{y},\mathbf{z}) \end{align} }[/math]

임을 안다.

조건 (3)

조건 (2)를 증명하였으므로 [math]\displaystyle{ m,n\in \mathbb{N} }[/math]에 대해 다음 식이 성립함을 쉽게 알 수 있다.

[math]\displaystyle{ (n\mathbf{x},\mathbf{y})=n(\mathbf{x},\mathbf{y}) }[/math]

[math]\displaystyle{ m(m^{-1}n\mathbf{x},\mathbf{y})=n(\mathbf{x},\mathbf{y}) }[/math]

그리고

[math]\displaystyle{ \begin{align} (-\mathbf{x},\mathbf{y})&=\frac{1}{2}\|-\mathbf{x}+\mathbf{y}\|^2-\frac{1}{2}\|-\mathbf{x}\|^2-\frac{1}{2}\|\mathbf{y}\|^2\\ &=\frac{1}{2}\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|^2-\frac{1}{2}\|\mathbf{x}\|^2-\frac{1}{2}\|\mathbf{y}\|^2\\ &=\|\mathbf{x}\|^2+\|\mathbf{y}\|^2-\frac{1}{2}\|\mathbf{x}+\mathbf{y}\|^2-\frac{1}{2}\|\mathbf{x}\|^2-\frac{1}{2}\|\mathbf{y}\|^2\\ &=-\frac{1}{2}(\|\mathbf{x}+\mathbf{y}\|^2+\|\mathbf{x}\|^2+\|\mathbf{y}\|^2)\\ &=-(\mathbf{x},\mathbf{y}) \end{align} }[/math]

이다. 따라서 임의의 [math]\displaystyle{ c\in \mathbb{Q} }[/math]에 대해, [math]\displaystyle{ c=\frac{p}{q} }[/math]라 두면

[math]\displaystyle{ q(c\mathbf{x},\mathbf{y})=q\left(\frac{p}{q}\mathbf{x},\mathbf{y}\right)=p(\mathbf{x},\mathbf{y}) }[/math]

이고 양변에 [math]\displaystyle{ \frac{1}{q} }[/math]를 곱하면

[math]\displaystyle{ (c\mathbf{x},\mathbf{y})=c(\mathbf{x},\mathbf{y}) }[/math]

를 얻는다. 다항함수 [math]\displaystyle{ p:\mathbb{R}\to\mathbb{R} }[/math]를 다음과 같이 정의하자.

[math]\displaystyle{ p(t)=t^2\|\mathbf{x}\|^2+2t(\mathbf{x},\mathbf{y})+\|\mathbf{y}\|^2 }[/math]

만약 [math]\displaystyle{ t\in \mathbb{Q} }[/math]라면

[math]\displaystyle{ \begin{align} p(t)&=\| t\mathbf{x}\|^2+\|\mathbf{y}\|^2+2(t\mathbf{x},\mathbf{y})\\ &=\|t\mathbf{x}|^2+\|\mathbf{y}\|^2+2\cdot \frac{1}{2}(\|t\mathbf{x}+\mathbf{y}\|^2-\|t\mathbf{x}\|-\|\mathbf{y}\|^2)\\ &=\|t\mathbf{x}+\mathbf{y}\|^2 \end{align} }[/math]

이다. p가 연속함수이므로 임의의 [math]\displaystyle{ t\in \mathbb{R} }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ p(t)\ge 0 }[/math]이고, 이차함수의 판별식은 0 이하이므로

[math]\displaystyle{ (\mathbf{x},\mathbf{y})^2-\|\mathbf{x}\|^2\|\mathbf{y}\|^2\le 0 }[/math]

임을 알 수 있다. 이 부등식은 바로 코시-슈바르츠 부등식이다. 한편, [math]\displaystyle{ a\in \mathbb{R} }[/math]가 주어졌을 때 임의의 [math]\displaystyle{ b\in \mathbb{Q} }[/math]에 대해 삼각부등식에 의해

[math]\displaystyle{ \begin{align} |(a\mathbf{x},\mathbf{y})-a(\mathbf{x},\mathbf{y})|&=|((a-b)\mathbf{x},\mathbf{y})+(b-a)(\mathbf{x},\mathbf{y})|\\ &\le |((a-b)\mathbf{x},\mathbf{y})|+|(b-a)(\mathbf{x},\mathbf{y})| \end{align} }[/math]

이다. 그러면

[math]\displaystyle{ ((a-b)\mathbf{x},\mathbf{y})^2 \le \|(a-b)\mathbf{x}\|^2\|\mathbf{y}\|^2=(a-b)^2\|\mathbf{x}\|^2\|\mathbf{y}\|^2 }[/math]

이므로

[math]\displaystyle{ |((a-b)\mathbf{x},\mathbf{y})|\le |a-b|\|\mathbf{x}\|\|\mathbf{y}\| }[/math]

이고

[math]\displaystyle{ |(b-a)(\mathbf{x},\mathbf{y})|\le |b-a|\|\mathbf{x}\|\|\mathbf{y}\| }[/math]

이므로

[math]\displaystyle{ |((a-b)\mathbf{x},\mathbf{y})|+|(b-a)(\mathbf{x},\mathbf{y})|\le 2|a-b|\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\| }[/math]

를 얻는다. [math]\displaystyle{ |a-b| }[/math]를 임의로 작게 할 수 있으므로

[math]\displaystyle{ (a\mathbf{x},\mathbf{y})=a(\mathbf{x},\mathbf{y}) }[/math]

를 얻는다.

조건 (4)

[math]\displaystyle{ \begin{align} (\mathbf{x},\mathbf{y})&=\frac{1}{2}(\|\mathbf{x}+\mathbf{y}\|^2-\|\mathbf{x}\|^2-\|\mathbf{y}\|^2)\\ &=\frac{1}{2}(\|\mathbf{y}+\mathbf{x}\|^2-\|\mathbf{y}\|^2-\|\mathbf{x}\|^2)\\ &=(\mathbf{y},\mathbf{x}) \end{align} }[/math]

이다.

복소수체에서

함수 [math]\displaystyle{ (\cdot,\cdot):V\to \mathbb{C} }[/math]를 다음과 같이 정의하자.

[math]\displaystyle{ (\mathbf{x},\mathbf{y})=\frac{1}{2}(\|\mathbf{x}+\mathbf{y}\|^2-\|\mathbf{x}\|^2-\|\mathbf{y}\|^2)+\frac{i}{2}(\|\mathbf{x}+i\mathbf{y}\|^2-\|\mathbf{x}\|^2-\|\mathbf{y}\|^2) }[/math]