정역

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정의

가환환 \(R\)에 대해 항등원 [math]\displaystyle{ 1_R\ne 0_R }[/math]이 존재하고 임의의 두 원소 \(a,b\)에 대해

[math]\displaystyle{ ab=0 \Rightarrow a=0_R \text{ or }b=0_R }[/math]

이면 정역(integral domain)이라고 한다. 즉, 정역은 항등원이 존재하고 영인자가 없는 가환환이다.

예시

• \(\mathbb{Z}\)
• \(p\)가 소수일 때, \(\mathbb{Z}_p\)
• \(D\)가 정역일 때, 다항식환 \(D[x]\)
• 임의의 체

성질

• 정역 \(R\)의 원소 [math]\displaystyle{ a,b,c }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ a\ne 0_R }[/math]이고 [math]\displaystyle{ ab=ac }[/math]이면 [math]\displaystyle{ b=c }[/math]이다.
• 유한집합인 정역은 체이다.