정역

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정의

가환환 [math]\displaystyle{ R }[/math]에 대해 항등원 [math]\displaystyle{ 1_R\ne 0_R }[/math]이 존재하고 임의의 두 원소 [math]\displaystyle{ a,b }[/math]에 대해

[math]\displaystyle{ ab=0 \Rightarrow a=0_R \text{ or }b=0_R }[/math]

이면 정역(integral domain)이라고 한다. 즉, 정역은 항등원이 존재하고 영인자가 없는 가환환이다.

예시

• [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math]
• [math]\displaystyle{ p }[/math]가 소수일 때, [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_p }[/math]
• [math]\displaystyle{ D }[/math]가 정역일 때, 다항식환 [math]\displaystyle{ D[x] }[/math]
• 임의의 체

성질

• (소거법칙) 정역 [math]\displaystyle{ R }[/math]의 원소 [math]\displaystyle{ a,\;b,\;c }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ a\ne 0_R }[/math]이고 [math]\displaystyle{ ab=ac }[/math]이면 [math]\displaystyle{ b=c }[/math]이다.
• 정역의 [항등원이 있는 부분환]은 정역이다. 따라서 체의 [항등원이 있는 부분환]도 정역이다.
  • 증명) 거의 자명한데, 정역 R의 부분환 S가 항등원 1_S를 가지면 항상 1_R=1_S인지는 꼭 한 번 확인해야 한다. 물론 이는 위 소거법칙의 결과이다. 즉, S의 등식 1_S1_S=1_S와 R의 등식 1_S=1_S1_R을 붙여 놓고 양변에서 1_S를 소거하면 된다.
  • 한편 체의 [항등원이 있는 부분환]이 항상 체인 것은 아니다. 체의 [항등원이 있는 부분환]으로서 체에서 물려받은 연산에 관하여 다시 체가 되는 것은 부분체(subfield)라고 한다.
• 유한집합인 정역은 체이다. 또, 유한차원 K벡터공간인 정역도 체이다.
  • 증명)

    위 조건을 만족하는 정역 [math]\displaystyle{ R }[/math]의 임의의 원소 [math]\displaystyle{ a\in R }[/math]에 대해, 곱셈에 대한 역원 [math]\displaystyle{ a^{-1} }[/math]이 [math]\displaystyle{ R }[/math]에 존재함을 보이면 된다.

    이제 [math]\displaystyle{ a }[/math]를 왼쪽에 곱하는 함수 [math]\displaystyle{ \lambda_a : R \to R,\; x \mapsto ax }[/math]를 생각하면, 이 함수는 위 소거법칙 때문에 단사함수이다.

    그리고 위 단사함수는 곧 전단사함수가 되는데, 유한집합인 경우에는 유한집합이라 그렇고, 유한차원 K벡터공간인 경우에는 위 단사함수는 K단사사상인데 유한차원 벡터공간이라 그렇다.

    따라서 [math]\displaystyle{ 1 = ab = ba }[/math]인 [math]\displaystyle{ b\in R }[/math]이 존재한다.