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<big>e</big>
== 개요 ==
자연상수란, [[수학]]에서 [[원주율]]과 함께 자주 쓰이는 상수 중 하나이다. 영어로는 natural constant...는 아니고, Euler's number<ref>사실 Euler's number가 가리키는 상수는 한 개가 아니다. 물론, 자연상수가 가장 대표적이다.</ref>나 Napier's constant라 부른다. Euler는 당연히 [[레온하르트 오일러]]를 말하고, Napier는 [[로그 (수학)|로그]]를 발명한 존 네이피어의 이름. 값은 약 2.71828이며, 고등학교에서 미적분을 배울 때 같이 배울 것이다.
처음 배울 때는 누구나 저 숫자가 어째서 '''자연'''상수인지에 대해 의문을 품을 것이다. 수치상으로는 굉장히 부자연스럽지만, 그건 어디까지나 수치상의 얘기고, 실제 수학에서는 굉장히 깔끔한 결과를 도출한다. 물론, 정의를 그렇게 한 것이기 때문에 깔끔한 경우도 있지만... 어째서 깔끔한지는 아래 정의와 성질 문단을 참조.
== 정의 ==
고교과정에서는 하나의 정의만 배우지만, 사실 정의는 하기 나름이라 굉장히 많은 정의가 존재한다. 아래는 그 일부.
#<math>\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\lim_{x\to0}\left(1+x\right)^{\frac{1}{x}}</math>
#*가장 많이 알고있을 정의. 학교에서는 이 정의를 사용하지만, 이 정의에는 굉장히 큰 문제가 하나 존재한다. '''저 값이 수렴하는지 어떻게 알아?''' 학교에서는 수렴함이 알려져 있다고만 하고 그냥 아무렇지 않게 쓰지만, 저 값이 수렴한다는 사실은 엄연히 증명히 필요한 명제이다. 증명을 고등학교에서 가르치지 않는 이유는 [[단조 수렴 정리]]가 쓰이기 때문. 증명은 [[단조 수렴 정리]] 항목 참조.
#*두 극한값이 같다는 사실은 <math>\frac{1}{n}=x</math>로 치환하면 유도가... 반만 된다. \(n\)이 [[무한대]]로 접근함에 따라 \(x\)는 '''오른쪽'''에서 0으로 접근하기 때문. \(x\)가 음수일 경우에는 따로 증명을 해 줘야한다. 물론, 학교에서는 그냥 그러려니 하고 사용한다.
#[[방정식]] <math>\int_1^x\frac{1}{t}\mathrm{dt}=1</math>의 해. 다르게 설명하면, 그래프 <math>y=\frac{1}{x}</math> 아래의 면적을 1부터 \(x\)까지 구했을 때, 그 값이 1이 되는 \(x\)값을 \(e\)라 정의한 것이다.
#*여기서 <math>\frac{1}{x}</math>의 부정적분을 [[자연로그]]로 정의하기도 한다. 물론 고등학교에선 밑이 \(e\)인 로그를 자연로그로 정의하지만.
#그래프 <math>y=a^x</math>의 \(x=0\)에서의 접선을 구할 때, 접선의 기울기가 1이 되는 \(a\) 값.
#<math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}</math>. [[테일러 급수]]를 사용한 정의이다. 물론, 저 급수가 수렴한다는 사실을 보여야 한다.
== 값 ==
자연상수의 값을 소수점 아래 1000자리 까지 나열하면 다음과 같다.
2.71828182845904523536028747135266249775724709369995957496696762772407663035354759457
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825749279610484198444363463244968487560233624827041978623209002160990235304369941849146
314093431738143640546253152096183690888707016768396424378140592714563549061303107208510
3837505101157477041718986106873969655212671546889570350354...
더 자세한 수치를 보고싶은 사람은 [http://www.gutenberg.org/files/127/127.txt 여기로]. 100만 자리까지 기록되어있다.
== 성질 ==
일부 성질은 정의와 겹친다.
#<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}e^x=e^x</math>
#<math>\int_1^e\frac{1}{x}\mathrm{dx}=1</math>
#[[초월수]]
#*\(e\)의 발견은 [[원주율]]보다 한참 늦었지만, \(e\)가 초월수임은 원주율이 초월수라는 것보다 늦게 증명되었다.
#모든 양수 \(x\)에 대해, <math>\left(1+\frac{1}{x}\right)^x< e<\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+1}</math>
#*첫 번째 부등식은 <math>\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math>가 수렴함을 증명하는 과정에서 유도된다.
#모든 [[실수]] \(x\)에 대해, <math>e^x\geq x+1</math>
#*미분을 이용하자.
#<math>e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}</math>
#<math>e^{ix}=\cos x+i\sin x</math>
#*[[오일러의 공식]]이라 부르는 그것. 여기에 <math>x=\pi</math>를 넣으면 그 유명한 <math>e^{i\pi}+1=0</math>이 나온다.
#<math>\left(\cos x+i\sin x\right)^n=e^{inx}=\cos{nx}+i\sin{nx}</math>
#*[[드 므아부르 정리]]
{{각주}}' |
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+{{학술}}
+<big>e</big>
+== 개요 ==
+자연상수란, [[수학]]에서 [[원주율]]과 함께 자주 쓰이는 상수 중 하나이다. 영어로는 natural constant...는 아니고, Euler's number<ref>사실 Euler's number가 가리키는 상수는 한 개가 아니다. 물론, 자연상수가 가장 대표적이다.</ref>나 Napier's constant라 부른다. Euler는 당연히 [[레온하르트 오일러]]를 말하고, Napier는 [[로그 (수학)|로그]]를 발명한 존 네이피어의 이름. 값은 약 2.71828이며, 고등학교에서 미적분을 배울 때 같이 배울 것이다.
+
+처음 배울 때는 누구나 저 숫자가 어째서 '''자연'''상수인지에 대해 의문을 품을 것이다. 수치상으로는 굉장히 부자연스럽지만, 그건 어디까지나 수치상의 얘기고, 실제 수학에서는 굉장히 깔끔한 결과를 도출한다. 물론, 정의를 그렇게 한 것이기 때문에 깔끔한 경우도 있지만... 어째서 깔끔한지는 아래 정의와 성질 문단을 참조.
+
+== 정의 ==
+고교과정에서는 하나의 정의만 배우지만, 사실 정의는 하기 나름이라 굉장히 많은 정의가 존재한다. 아래는 그 일부.
+#<math>\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\lim_{x\to0}\left(1+x\right)^{\frac{1}{x}}</math>
+#*가장 많이 알고있을 정의. 학교에서는 이 정의를 사용하지만, 이 정의에는 굉장히 큰 문제가 하나 존재한다. '''저 값이 수렴하는지 어떻게 알아?''' 학교에서는 수렴함이 알려져 있다고만 하고 그냥 아무렇지 않게 쓰지만, 저 값이 수렴한다는 사실은 엄연히 증명히 필요한 명제이다. 증명을 고등학교에서 가르치지 않는 이유는 [[단조 수렴 정리]]가 쓰이기 때문. 증명은 [[단조 수렴 정리]] 항목 참조.
+#*두 극한값이 같다는 사실은 <math>\frac{1}{n}=x</math>로 치환하면 유도가... 반만 된다. \(n\)이 [[무한대]]로 접근함에 따라 \(x\)는 '''오른쪽'''에서 0으로 접근하기 때문. \(x\)가 음수일 경우에는 따로 증명을 해 줘야한다. 물론, 학교에서는 그냥 그러려니 하고 사용한다.
+#[[방정식]] <math>\int_1^x\frac{1}{t}\mathrm{dt}=1</math>의 해. 다르게 설명하면, 그래프 <math>y=\frac{1}{x}</math> 아래의 면적을 1부터 \(x\)까지 구했을 때, 그 값이 1이 되는 \(x\)값을 \(e\)라 정의한 것이다.
+#*여기서 <math>\frac{1}{x}</math>의 부정적분을 [[자연로그]]로 정의하기도 한다. 물론 고등학교에선 밑이 \(e\)인 로그를 자연로그로 정의하지만.
+#그래프 <math>y=a^x</math>의 \(x=0\)에서의 접선을 구할 때, 접선의 기울기가 1이 되는 \(a\) 값.
+#<math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}</math>. [[테일러 급수]]를 사용한 정의이다. 물론, 저 급수가 수렴한다는 사실을 보여야 한다.
+
+== 값 ==
+자연상수의 값을 소수점 아래 1000자리 까지 나열하면 다음과 같다.
+
+2.71828182845904523536028747135266249775724709369995957496696762772407663035354759457
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+
+더 자세한 수치를 보고싶은 사람은 [http://www.gutenberg.org/files/127/127.txt 여기로]. 100만 자리까지 기록되어있다.
+
+== 성질 ==
+일부 성질은 정의와 겹친다.
+#<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}e^x=e^x</math>
+#<math>\int_1^e\frac{1}{x}\mathrm{dx}=1</math>
+#[[초월수]]
+#*\(e\)의 발견은 [[원주율]]보다 한참 늦었지만, \(e\)가 초월수임은 원주율이 초월수라는 것보다 늦게 증명되었다.
+#모든 양수 \(x\)에 대해, <math>\left(1+\frac{1}{x}\right)^x< e<\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+1}</math>
+#*첫 번째 부등식은 <math>\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math>가 수렴함을 증명하는 과정에서 유도된다.
+#모든 [[실수]] \(x\)에 대해, <math>e^x\geq x+1</math>
+#*미분을 이용하자.
+#<math>e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}</math>
+#<math>e^{ix}=\cos x+i\sin x</math>
+#*[[오일러의 공식]]이라 부르는 그것. 여기에 <math>x=\pi</math>를 넣으면 그 유명한 <math>e^{i\pi}+1=0</math>이 나온다.
+#<math>\left(\cos x+i\sin x\right)^n=e^{inx}=\cos{nx}+i\sin{nx}</math>
+#*[[드 므아부르 정리]]
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+{{각주}}
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10 => '#*가장 많이 알고있을 정의. 학교에서는 이 정의를 사용하지만, 이 정의에는 굉장히 큰 문제가 하나 존재한다. '''저 값이 수렴하는지 어떻게 알아?''' 학교에서는 수렴함이 알려져 있다고만 하고 그냥 아무렇지 않게 쓰지만, 저 값이 수렴한다는 사실은 엄연히 증명히 필요한 명제이다. 증명을 고등학교에서 가르치지 않는 이유는 [[단조 수렴 정리]]가 쓰이기 때문. 증명은 [[단조 수렴 정리]] 항목 참조.',
11 => '#*두 극한값이 같다는 사실은 <math>\frac{1}{n}=x</math>로 치환하면 유도가... 반만 된다. \(n\)이 [[무한대]]로 접근함에 따라 \(x\)는 '''오른쪽'''에서 0으로 접근하기 때문. \(x\)가 음수일 경우에는 따로 증명을 해 줘야한다. 물론, 학교에서는 그냥 그러려니 하고 사용한다.',
12 => '#[[방정식]] <math>\int_1^x\frac{1}{t}\mathrm{dt}=1</math>의 해. 다르게 설명하면, 그래프 <math>y=\frac{1}{x}</math> 아래의 면적을 1부터 \(x\)까지 구했을 때, 그 값이 1이 되는 \(x\)값을 \(e\)라 정의한 것이다.',
13 => '#*여기서 <math>\frac{1}{x}</math>의 부정적분을 [[자연로그]]로 정의하기도 한다. 물론 고등학교에선 밑이 \(e\)인 로그를 자연로그로 정의하지만.',
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41 => '#모든 양수 \(x\)에 대해, <math>\left(1+\frac{1}{x}\right)^x< e<\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+1}</math>',
42 => '#*첫 번째 부등식은 <math>\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math>가 수렴함을 증명하는 과정에서 유도된다.',
43 => '#모든 [[실수]] \(x\)에 대해, <math>e^x\geq x+1</math>',
44 => '#*미분을 이용하자.',
45 => '#<math>e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}</math>',
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47 => '#*[[오일러의 공식]]이라 부르는 그것. 여기에 <math>x=\pi</math>를 넣으면 그 유명한 <math>e^{i\pi}+1=0</math>이 나온다.',
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49 => '#*[[드 므아부르 정리]]',
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