부울의 부등식

진술

표본공간의 유한 개 사건 [math]\displaystyle{ E_1,E_2,\cdots,E_n }[/math]에 대해,

[math]\displaystyle{ P\left(\bigcup_{i=1}^{n} E_i \right)\le \sum_{i=1}^{n}P(E_i) }[/math]

더욱이, 가산무한 개 사건 [math]\displaystyle{ E_1,E_2,\cdots }[/math]에 대해,

[math]\displaystyle{ P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} E_i \right)\le \sum_{i=1}^{\infty}P(E_i) }[/math]

증명

유한 개 사건 [math]\displaystyle{ E_1,E_2,\cdots,E_n }[/math]에 대해, 수학적 귀납법을 적용할 수 있다. 항상 [math]\displaystyle{ P(E_1)\le P(E_1) }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ n=1 }[/math]일 때 명제는 성립한다. 이제 [math]\displaystyle{ n=k }[/math]일 때 정리가 성립한다고 가정하자. 그러면 임의의 사건 [math]\displaystyle{ A,B }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ P(A\cup B)\le P(A)+P(B) }[/math]이므로

[math]\displaystyle{ \begin{align} P\left(\bigcup_{i=1}^{k+1} E_i\right)&\le P\left(\bigcup_{i=1}^k E_i\right) + P(E_{k+1})\\ &\le \sum_{i=1}^k P(E_i) +P(E_{k+1})\\ &=\sum_{i=1}^{k+1}P(E_i) \end{align} }[/math]

이다. 따라서 임의의 양의 정수 [math]\displaystyle{ n }[/math]에 대해 정리가 성립한다.

가산무한 개 사건 [math]\displaystyle{ E_1,E_2,\cdots }[/math]이 주어졌을 경우, 사건 [math]\displaystyle{ F_1,F_2,\cdots, F_n }[/math]을 다음과 같이 정의한다.

[math]\displaystyle{ F_1=E_1, F_i=E_i \setminus \bigcup_{j=1}^{i-1} E_j\text{ for }i=2,3,\cdots }[/math]

그러면

[math]\displaystyle{ \bigcup_{i=1}^{\infty} E_i = \bigcup_{i=1}^{\infty}F_i }[/math]

이다. 한편 [math]\displaystyle{ F_1,F_2,\cdots }[/math]는 서로소이므로, 확률 공리에 의해

[math]\displaystyle{ P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}F_i\right) = \sum_{i=1}^{\infty} P(F_i) }[/math]

이다. [math]\displaystyle{ F_i \subseteq E_i }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ P(F_i)\le P(E_i) }[/math]이고, 따라서

[math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^{\infty} P(F_i) \le \sum_{i=1}^{\infty} P(E_i) }[/math]

이다. 즉,

[math]\displaystyle{ \bigcup_{i=1}^{\infty} E_i = \bigcup_{i=1}^{\infty}F_i= \sum_{i=1}^{\infty} P(F_i)\le \sum_{i=1}^{\infty} P(E_i) }[/math]

이므로 원하는 결론을 얻는다.