그람-슈미트 정규직교화

그람-슈미트 정규직교화(Gram-Schmidt orthonomalization) 또는 그람-슈미트 과정(Gram-Schmidt process)은 유한차원의 내적공간(inner product space)의 기저(basis)가 주어지면, 그 기저로부터 정규직교기저(orthonormal basis)를 만들 수 있다는 정리다.

진술

내적공간 V의 기저 [math]\displaystyle{ B=\{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\cdots,\mathbf{u}_n\} }[/math]이 주어졌다고 하자. 이때 V의 원소 [math]\displaystyle{ \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\cdots,\mathbf{v}_n }[/math]를

[math]\displaystyle{ \begin{align} \mathbf{v}_1&=\frac{\mathbf{u}_1}{\| \mathbf{u}_1 \|}\\ \mathbf{v}_2&=\frac{\mathbf{u}_2-(\mathbf{u}_2,\mathbf{v}_1)\mathbf{v}_1}{\| \mathbf{u}_2-(\mathbf{u}_2,\mathbf{v}_1)\mathbf{v}_1 \|}\\ \mathbf{v}_3&=\frac{\mathbf{u}_3-(\mathbf{u}_3,\mathbf{v}_1)\mathbf{v}_1-(\mathbf{u}_3,\mathbf{v}_2)\mathbf{v}_2}{\| \mathbf{u}_3-(\mathbf{u}_3,\mathbf{v}_1)\mathbf{v}_1-(\mathbf{u}_3,\mathbf{v}_2)\mathbf{v}_2 \|}\\ \vdots&\\ \mathbf{v}_n&=\frac{\mathbf{u}_n-\sum_{i=1}^n(\mathbf{u}_n,\mathbf{v}_i)\mathbf{v}_i}{\| \mathbf{u}_n-\sum_{i=1}^n(\mathbf{u}_n,\mathbf{v}_i)\mathbf{v}_i \|} \end{align} }[/math]

로 정의하면 [math]\displaystyle{ N=\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\cdots,\mathbf{v}_n\} }[/math]은 V의 정규직교기저이다.

예시

2차 이하의 다항식들의 내적공간 [math]\displaystyle{ \mathcal{P}_2 }[/math]의 내적이 다음과 같이 주어졌다고 하자.

[math]\displaystyle{ (p(x),q(x))=\int_{-1}^1 p(x)q(x)dx }[/math]

[math]\displaystyle{ \{1,x,x^2\} }[/math]는 [math]\displaystyle{ P_2 }[/math]의 기저이다. 그러나

[math]\displaystyle{ (1,x^2)=\int_{-1}^1 x^2 dx=\frac{2}{3}\ne 0 }[/math]

이므로 정규직교기저가 아니다. 이제 그람-슈미트 과정을 적용하면

[math]\displaystyle{ \begin{align} \mathbf{v}_1&=\frac{1}{\| 1 \|}=\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \mathbf{v}_2&=\frac{x-(x,\frac{1}{\sqrt{2}})\frac{1}{\sqrt{2}}}{\| x-(x,\frac{1}{\sqrt{2}})\frac{1}{\sqrt{2}} \|}\\ &=\sqrt{\frac{3}{2}}x\\ \mathbf{v}_3&=\frac{x^2-(x^2,\sqrt{\frac{3}{2}}x)\sqrt{\frac{3}{2}}x-(x^2,\frac{1}{\sqrt{2}})\frac{1}{\sqrt{2}}}{\| x^2-(x^2,\sqrt{\frac{3}{2}}x)\sqrt{\frac{3}{2}}x-(x^2,\frac{1}{\sqrt{2}})\frac{1}{\sqrt{2}} \|}\\ &=\sqrt{\frac{5}{2}}\frac{3}{2}(x^2-\frac{1}{3}) \end{align} }[/math]

이므로 [math]\displaystyle{ \{\frac{1}{\sqrt{2}},\sqrt{\frac{3}{2}}x,\sqrt{\frac{5}{2}}\frac{3}{2}(x^2-\frac{1}{3})\} }[/math]은 [math]\displaystyle{ \mathcal{P}_2 }[/math]의 정규직교기저이다.

일반적으로 n-1차 이하의 다항식들의 내적공간 [math]\displaystyle{ P_{n-1} }[/math]의 내적이 위와 같이 주어지고 기저 [math]\displaystyle{ \{1,x,x^2,\cdots,x^{n-1}\} }[/math]이 주어졌을 때,

[math]\displaystyle{ \mathbf{v}_i=\sqrt{\frac{2i+1}{2}}P_i(x)\;(1\le i \le n) }[/math]

이다. 이때 [math]\displaystyle{ P_i(x) }[/math]는 르장드르 다항식이다.