내적공간

정의

V를 체 [math]\displaystyle{ F\;(F=\mathbb{R}\text{ or }\mathbb{C}) }[/math] 위에 주어진 벡터공간이라고 하자. 함수 [math]\displaystyle{ (\cdot,\cdot):V\times V\to F }[/math]가 임의의 [math]\displaystyle{ \mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z}\in V }[/math]와 [math]\displaystyle{ c\in F }[/math]에 대해

(1) [math]\displaystyle{ (\mathbf{x},\mathbf{x})\ge 0 }[/math]

(1a) [math]\displaystyle{ (\mathbf{x},\mathbf{x})=0 \Leftrightarrow \mathbf{x}=0 }[/math]

(2) [math]\displaystyle{ (\mathbf{x}+\mathbf{y},\mathbf{z})=(\mathbf{x},\mathbf{z})+(\mathbf{y},\mathbf{z}) }[/math]

(3) [math]\displaystyle{ (c\mathbf{x},\mathbf{y})=c(\mathbf{x},\mathbf{y}) }[/math]

(4) [math]\displaystyle{ (\mathbf{x},\mathbf{y})=\overline{(\mathbf{y},\mathbf{x})} }[/math]

을 만족하면 [math]\displaystyle{ (\cdot,\cdot) }[/math]를 내적(inner product)이라고 한다. 만약 벡터공간에 내적이 주어져 있으면 내적공간(inner product space)이라고 한다.

내적의 예시

• 스칼라곱(dot product): [math]\displaystyle{ \mathbf{u},\mathbf{v}\in \mathbb{R}^n }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \mathbf{u}=(u_1,u_2,\cdots,u_n),\mathbf{v}=(v_1,v_2,\cdots,v_n) }[/math]일 때, [math]\displaystyle{ \mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=\sum_{i=1}^n u_i v_i }[/math]
• [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]에서 연속인 함수 [math]\displaystyle{ f:[a,b]\to \mathbb{R} }[/math]의 집합을 [math]\displaystyle{ C[a,b] }[/math]라 하자. [math]\displaystyle{ f,g\in C[a,b] }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ (f,g)=\int_a^b f(x)g(x)dx }[/math]는 내적이다.

성질

추가바람

행렬 표현

[math]\displaystyle{ B=\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\cdots,\mathbf{v}_n\} }[/math]이 [math]\displaystyle{ n }[/math]차원 내적공간 [math]\displaystyle{ V }[/math]의 기저라고 하자. 그러면 [math]\displaystyle{ \mathbf{u},\mathbf{v}\in V }[/math]에 대해

[math]\displaystyle{ \mathbf{u}=\sum_{i=1}^n a_i\mathbf{v}_i }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathbf{v}=\sum_{i=1}^n b_i\mathbf{v}_i }[/math]

인 [math]\displaystyle{ a_i,b_i\;(i=1,2,\dots,n) }[/math]이 존재한다. 그러면 내적의 정의에 의해

[math]\displaystyle{ \begin{align} (\mathbf{u},\mathbf{v})&=\left(\sum_{i=1}^n a_i\mathbf{v}_i,\sum_{i=1}^n b_i\mathbf{v}_i\right)\\ &=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_i \overline{b_j} (\mathbf{v}_i,\mathbf{v}_j) \end{align} }[/math]

이다. 이때 행렬

[math]\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} (\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_1) & (\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2) & \cdots & (\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_n)\\ (\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_1) & (\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_2) & \cdots & (\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_n)\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ (\mathbf{v}_n,\mathbf{v}_1) & (\mathbf{v}_n,\mathbf{v}_2) & \cdots & (\mathbf{v}_n,\mathbf{v}_n)\\ \end{bmatrix} }[/math]

를 기저 [math]\displaystyle{ B }[/math]에 관련된 내적행렬이라고 한다. 좌표벡터 [math]\displaystyle{ [\mathbf{u}]_B=(a_1,a_2,\cdots,a_n),[\mathbf{v}]_B=(b_1,b_2,\cdots,b_n) }[/math]를 이용하면

[math]\displaystyle{ (\mathbf{u},\mathbf{v})=[\mathbf{v}]_B^\dagger A [\mathbf{u}]_B }[/math]

이다.

같이 보기

• 코시-슈바르츠 부등식