정의[편집 | 원본 편집]
Group [math]\displaystyle{ G }[/math] 에 대해 [math]\displaystyle{ G }[/math] 의 모든 교환자로 생성된 [math]\displaystyle{ G }[/math] 의 subgroup 을 [math]\displaystyle{ G }[/math] 의 교환자군이라 하며, [math]\displaystyle{ G^c }[/math] 라고 표기한다.
성질[편집 | 원본 편집]
- [math]\displaystyle{ G^c }[/math] 는 [math]\displaystyle{ G }[/math] 의 normal subgroup 이 된다.
- Factor group [math]\displaystyle{ G/G^c }[/math] 는 abelian group 이 된다.
- [math]\displaystyle{ G }[/math] 가 group 이라고 하고 [math]\displaystyle{ G' }[/math] 이 abelian group 이라고 하자. 그러면 group homomorphism [math]\displaystyle{ f:G \rightarrow G' }[/math] 의 kernel 은 항상 [math]\displaystyle{ G^c }[/math] 를 포함해야 한다.
응용[편집 | 원본 편집]
세번째 성질을 잘 보면 group [math]\displaystyle{ G }[/math] 의 어떤 subgroup series [math]\displaystyle{ \{G_i\} }[/math] 가 normal 이고 abliean 이라고 하면, [math]\displaystyle{ G_i^c \subseteq G_{i+1} }[/math] 이여야 함을 알 수 있다. 그러므로 group [math]\displaystyle{ G }[/math] 의 교환자군 [math]\displaystyle{ G^c }[/math] 를 조사하여, group [math]\displaystyle{ G }[/math] 가 solvable 인지 아닌지 판정할 수도 있으며, 그 예시로 [math]\displaystyle{ n \geq 5 }[/math] 일 때, 순환군 [math]\displaystyle{ S_n }[/math] 이 solvable 이지 않음을 보일때 교환자군이 사용된다.
참고서적[편집 | 원본 편집]
- Serge Lang (2002). 《Algebra》. Springer. ISBN 978-0387953854