交換子, Commutator
개요[편집 | 원본 편집]
어떤 이항연산자가 교환법칙이 성립하는지에 대해 확인하는 연산자이다. 연산자가 1개인 군(Group)에서의 정의와 2개읜 환(Ring)에서의 정의가 조금 다르다. 우선 군[math]\displaystyle{ (G, \cdot ) }[/math]에 대해서는 교환자 [x,y]는 [math]\displaystyle{ [x,y] = xy{x}^{-1}{y}^{-1} }[/math]로 정의되며, 환 [math]\displaystyle{ (R, +, \cdot) }[/math]에 대해서는 어떤 A, B에 대해 교환자는 [math]\displaystyle{ [A, B] = A\cdot B - B\cdot A }[/math]로 정의되는 연산이다.
교환자가 항상 0인 군은 가환군(commutative group, abelian group), 교환자가 항상 0인 환은 가환환(Commutative Ring)이라고 부른다.
성질[편집 | 원본 편집]
- 군론에서의 성질 - [math]\displaystyle{ a^x = xax^{-1} }[/math] 공액 원소(conjugate)라고 정의하자.
- [math]\displaystyle{ [x,x]=e }[/math]
- [math]\displaystyle{ y^x=xyx^{-1} = xyx^{-1} y^{-1} y=[x,y]y }[/math]
- [math]\displaystyle{ [x,y]= xyx^{-1} y^{-1} = \left(y^{-1}\right)^{-1}\left(x^{-1}\right)^{-1} x^{-1} y^{-1} =[y,x]^{-1} }[/math]
- 환론에서의 성질 - 다음과 같은 리 대수 관계가 성립한다. 애초에 환론의 교환자는 결합대수(Associative Algebra)의 연산자를 이용해서 리 대수(Lie Algebra)를 정의한다.
- [math]\displaystyle{ [A,A] =AA-AA= 0 }[/math]
- [math]\displaystyle{ [A,B] =AB-BA=-BA+AB= - [B,A] }[/math] (반대칭성, Antisymmetry)
- [math]\displaystyle{ \begin{align} [A,[B,C]] + [B,[C,A]] + [C,[A,B]] &= (ABC-ACB-BCA+CBA) \\ &+(BCA-BAC-CAB+ACB) \\ &+(CAB-CBA-ABC+BAC) \\ & =0 \quad \text{(야코비 항등식, Jacobi Equation)} \end{align} }[/math]
용도[편집 | 원본 편집]
군이나 환에서 교환법칙이 성립하는 정도를 측정할 때 사용한다. 가환군/가환환의 경우 교환자는 항상 0이 된다.
또한 결합대수(Associative Algebra)에서 덧셈 연산자와 교환자를 이용해서 리 대수(Lie Algebra)를 유도할 수도 있다.