Q-number

q-number 는 일반적인 숫자 체계와 다른 공리를 가지고 있습니다.

먼저 정수 n에 1을 더하면 n+1입니다. 하지만 q-number의 정수n에 1을 더해도 n+1이 아닙니다. 이게 무슨 소리일까요?

q-number의 n은 [n]_q으로 나타낼수 있습니다. 그리고 박스n이라고 읽습니다. 그리고 일반적으로 q는 생략하며 그외의 경우, 예를 들어 q²인 경우에는 나타냅니다.

[math]\displaystyle{ \left[n \right] = \frac{1 - {q}^{n}}{1 - q} = 1 + q + {q}^{2} + \cdots + {q}^{n-1} }[/math]

이것이 q-number를 일반적인 형태로 나타내었을 때 입니다. 그렇다면 [1]+1이 왜 [2]가 아닌지, 그리고 덧셈뿐만 아니라 다른 공식도 원래와 다른지 알아볼까요?

q-number는 일반 숫자의 공식과 호환이 될까?

q-number 는 일반적인 숫자와 상당히 다른 형태를 가지고 있습니다. q가 1일 경우에

[0] = 0

[1] = 1

[2] = 1 + q

[3] = 1 + q + q²

[4] = 1 + q + q² + q³

이렇게 진행이 됩니다.

이것만 보면 전혀 모든 기존의 연산이 뒤엉켜 버릴것 같은 기분을 느낄 겁니다. 하지만 걱정마세요. 수학자들은 계산하는 방법들을 찾아내었으니깐요.

q-number 의 덧셈

q-number 의 덧셈은 그냥 더하는 것으로 되는 것이 아닙니다.

[n]+1 = [n+1]과 [x]+[y] = [x+y]로 그 이유를 알아볼까요?

[n]+1 = [n+1]?

[math]\displaystyle{ \left[n \right] + 1 = \left[n + 1 \right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{1 - {q}^{n}}{1 - q} + 1 = \frac{1 - {q}^{n} + 1 - q}{1 - q} = \frac{2 - {q}^{n + 1}}{1 - q} \neq \frac{1 - {q}^{n + 1}}{1 - q} }[/math]

따라서 [n]+1 는 [n+1]이 아닙니다!

[n]+1이 [n+1]이 되도록 하려면 어떻게 해야 할까요?

어떤 q-number 에 q배후 +1을 하면 [q+1] 이 된답니다! 풀어서 확인을 해보죠.

[math]\displaystyle{ q\left[n \right] + 1 = \left[n + 1 \right] }[/math]

[math]\displaystyle{ q\frac{1 - {q}^{n}}{1 - q} + 1 = \frac{q - {q}^{n+1} + 1 - q}{1 - q} = \frac{1 - {q}^{n + 1}}{1 - q} }[/math]

따라서 [math]\displaystyle{ q\left[n \right] + 1 = \left[n + 1 \right] }[/math]이죠.

[x + y] = [x] + [y]?

이제 다른 계산을 해볼까요? 과연 [x + y] = [x] + [y]일까요? 물론 아니겠죠 그렇다면 어떻게 계산을 할 수 있을까요?

먼저 [x + y] = [x] + [y]로 계산해볼께요

[math]\displaystyle{ \left[x \right] + \left[y \right] = \left[x + y \right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{1 - {q}^{x}}{1 - q} + \frac{1 - {q}^{y}}{1 - q} = \frac{1 - {q}^{x} + 1 - {q}^{y}}{1 - q} = \frac{2 - {q}^{x} - {q}^{y}}{1 - q}\neq \frac{1 - {q}^{x + y}}{1 - q} }[/math]

예상했겠지만 이렇게 해서는 계산이 안되네요.

어떻게 하면 q-number의 덧셈을 할 수 있을까요?

[math]\displaystyle{ \frac{1 - {q}^{x}}{1 - q} + \frac{1 - {q}^{y}}{1 - q} = \frac{1 - {q}^{x + y}}{1 - q} }[/math]인데 1-q를 곱해서 분모를 제거하고 생각해보죠.

[math]\displaystyle{ 1 - {q}^{x} + 1 - {q}^{y} = 1 - {q}^{x + y} }[/math]

일단 상수항 그러니까 그냥 숫자를 생각해보자구요. 양변의 상수항은 같아져야 하는데 좌변은 2이고 우변은 1이에요. 그리고 [math]\displaystyle{ -{q}^{x + y} }[/math] 이 존재하기 위해서는 좌변에 이것이 있어야 해요. 그리고[math]\displaystyle{ - {q}^{x} - {q}^{y} }[/math]는 사라져야 하구요. 어때요? 감이 오시나요? 우변의 [math]\displaystyle{ -{q}^{x + y} }[/math]를 만들기 위해 [math]\displaystyle{ \frac{1 - {q}^{y}}{1 - q} }[/math]에 [math]\displaystyle{ {q}^{x} }[/math]를 곱하는거죠! 이러면 [math]\displaystyle{ {q}^{x} }[/math]가 사라지고 상수항은 1이 되고 [math]\displaystyle{ -{q}^{x + y} }[/math]가 생길테니깐요!

식으로 보자구요.

[math]\displaystyle{ \left[x \right] + {q}^{x}\left[y \right] = \left[x + y \right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{1 - {q}^{x}}{1 - q} + {q}^{x}\frac{1 - {q}^{y}}{1 - q} = \frac{1 - {q}^{x + y}}{1 - q} }[/math]

[math]\displaystyle{ 1 - {q}^{x} + {q}^{x} - {q}^{x + y} = 1 - {q}^{x + y} }[/math]

따라서 [math]\displaystyle{ \left[x \right] + {q}^{x}\left[y \right] = \left[x + y \right] }[/math] 입니다