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[[확률변수]] ''Z'', ''U''에 대해 두 확률변수는 독립이고 ''Z''는 [[표준정규분포|정규분포]]를, ''U''는 자유도 ''n''인 [[카이제곱분포]]를 따른다고 하자. 즉, <math>Z\sim N(0,1), U\sim \chi_n^2</math>이다. 이때 확률변수 | [[확률변수]] ''Z'', ''U''에 대해 두 확률변수는 독립이고 ''Z''는 [[표준정규분포|정규분포]]를, ''U''는 자유도 ''n''인 [[카이제곱분포]]를 따른다고 하자. 즉, <math>Z\sim N(0,1), U\sim \chi_n^2</math>이다. 이때 확률변수 | ||
: <math>T=\frac{Z}{\sqrt{U/n}}</math> | : <math>T=\frac{Z}{\sqrt{U/n}}</math> | ||
가 따르는 확률분포를 자유도 ''n''인 '''학생 t분포''', 또는 '''스튜던트 t분포(Student's t-distribution)'''이라고 한다. 줄여서 '''t분포'''라고도 하며, <math>t_n</math>으로 표기한다. | 가 따르는 확률분포를 자유도 ''n''인 '''학생 t분포''', 또는 '''스튜던트 t분포(Student's t-distribution)'''이라고 한다. 줄여서 '''t분포'''라고도 하며, <math>t_n</math>으로 표기한다.<ref>왜 이름이 학생 t분포냐면, t분포를 연구한 W.S. Gosset이 논문을 낼 때 필명을 Student라고 했기 때문이다. Student(1908). [http://www.york.ac.uk/depts/maths/histstat/student.pdf "The Probable Error on a Mean"]. Biometrika 6 (1): 1–25. doi:10.1093/biomet/6.1.1</ref> | ||
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2015년 5월 3일 (일) 21:07 판
정의
확률변수 Z, U에 대해 두 확률변수는 독립이고 Z는 정규분포를, U는 자유도 n인 카이제곱분포를 따른다고 하자. 즉, [math]\displaystyle{ Z\sim N(0,1), U\sim \chi_n^2 }[/math]이다. 이때 확률변수
- [math]\displaystyle{ T=\frac{Z}{\sqrt{U/n}} }[/math]
가 따르는 확률분포를 자유도 n인 학생 t분포, 또는 스튜던트 t분포(Student's t-distribution)이라고 한다. 줄여서 t분포라고도 하며, [math]\displaystyle{ t_n }[/math]으로 표기한다.[1]
응용
정규분포 N(μ,σ2)을 따르는 [math]\displaystyle{ X_1,X_2,\cdots,X_n }[/math]에 대해 표본평균 [math]\displaystyle{ \bar{X} }[/math]와 표본분산 S2은 서로 독립이며 [math]\displaystyle{ \bar{X}\sim N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right) }[/math], [math]\displaystyle{ \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim \chi_{n-1}^2 }[/math]이다. 따라서
- [math]\displaystyle{ \frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}=\frac{\dfrac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}}{\dfrac{S/\sqrt{n}}{\sigma/\sqrt{n}}}=\frac{Z}{\sqrt{\dfrac{(n-1)S^2/\sigma^2}{n-1}}}\sim t_{n-1} }[/math]
이다. 따라서 t분포는 σ를 모르는 상황에서 t검정을 할 때 검정통계량으로 사용된다.
같이 보기
각주
- ↑ 왜 이름이 학생 t분포냐면, t분포를 연구한 W.S. Gosset이 논문을 낼 때 필명을 Student라고 했기 때문이다. Student(1908). "The Probable Error on a Mean". Biometrika 6 (1): 1–25. doi:10.1093/biomet/6.1.1