푸리에 변환

단순히 말해, 어떤 함수를 사인 함수들로 분해하는 것이다.

정의

f가 [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] 위에서 정의된 함수이고

[math]\displaystyle{ A\in \mathbb{R} }[/math]이 존재하여 모든 [math]\displaystyle{ x\in \mathbb{R} }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ |f(x)|\le \frac{A}{1+x^2} }[/math]

라고 하자. 그러면 f의 푸리에 변환(Fourier transform)은 다음과 같이 정의한다.

[math]\displaystyle{ \hat{f}(\xi)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-2\pi i x\xi} dx\quad(\xi\in \mathbb{R}) }[/math]

어디에 쓰일까?

• JPEG 압축에 쓰인다. 이미지 파일을 코사인파들로 분리해서 표현하는 것이 JPEG 압축의 기본 원리이다.

• 전화기에 쓰인다. JPEG와 마찬가지의 이유로 목소리 신호를 코사인파들로 분리하는 것이 전화기 데이터 전송의 원리.
• 미분 방정식을 풀 때 쓰일 수 있다. 어떤 미분 방정식을 푸리에 변환한 후에 식을 적당히 변형하고 다시 역변환함으로써 쉽게 미분 방정식의 해를 구할 수 있는 경우가 많다. 미분 방정식을 풀면 공학에 전방위적인 도움이 되기 때문에(로봇, 화학공학, 반도체, ...) 먹고사는 데 도움이 된다.
• 정수론에도 쓰인다. 푸리에 변환을 활용하여 an+b꼴의 소수가 무한히 많다는 디리클레의 정리를 증명할 수 있다. 더 정확하게 말하면 이것은 유한 아벨군에 대한 푸리에 '급수'이긴 하지만 아이디어는 같다.

푸리에 급수와 푸리에 변환

푸리에 급수는 주기 함수를 사인파들의 무한합으로 표현하는 것이다. 이게 푸리에 변환의 프로토타입이다. 이제 주기 함수 대신 임의의 함수와 그것의 임의의 구간을 잡은 후 그 구간이 반복된다고 생각하여 푸리에 급수를 구한다고 치자. 구간을 무한히 길게 늘리면 늘릴수록 사인파들의 파장 사이의 간격이 점점 늘어나며 이게 수렴한 것이 푸리에 급수다.

결국 같은 얘기란 것이다. 개발로 썼는데 추가바람.

음악

음악의 원리적 이해에 아주 중요한 게 푸리에 변환이다.

음

하모닉하고 '음'이 있는 소리는 푸리에 변환을 했을 때 주기적인 피크가 생긴다. 이건 푸리에 급수에서 나타나는 피크와 같은 의미이다.

내 귀가 푸리에 변환을 한다

우리의 귀는 자동으로 푸리에 변환을 한다. 그도 그럴 것이 귀 안에 나 있는 털이 특정 주파수에만 공명하게 되어 있기 때문에 자동으로 우리가 듣는 소리의 음의 높낮이 따위를 추출해 낸다.

신시사이저

사각파나 톱니파 따위를 만들 때 푸리에 급수로 표현하여 다 더함으로써 물리적으로 새로운 느낌의 사운드를 만들 수 있다. 이제 여기다가 LFO 먹이고 ADSR 먹이고 쿵짝쿵짝 하다 보면 전자 음악이 된다.