정의
함수 \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\)가 \([a,b]\)에서 적분가능하고 \(b-a=L\)이라고 하자. 이때
- [math]\displaystyle{ \hat{f}(n)=\frac{1}{L}\int_a^b f(x)\exp\left(-\frac{2\pi inx}{L}\right)dx }[/math]
를 \(f\)의 n번째 푸리에 계수(Fourier coefficient)라고 하고
- [math]\displaystyle{ \sum_{n=-\infty}^{\infty} \hat{f}(n)\exp\left(\frac{2\pi inx}{L}\right) }[/math]
를 \(f\)의 푸리에 급수(Fourier series)라고 한다.
예시
\(f:[-\pi, \pi]\to \mathbb{R}\)이 \(f(x)=x\)로 정의되었다고 하자. 그러면
- [math]\displaystyle{ \hat{f}(0)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}xdx=0 }[/math]
이고 \(n\ne 0\)일 때
- [math]\displaystyle{ \begin{align} \hat{f}(n)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} xe^{-inx}dx\\ &=\frac{1}{2\pi}\left(\left[-\frac{1}{in}xe^{-inx}\right]_{-\pi}^{\pi}+\int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{in}e^{-inx}dx\right)\\ &=\frac{1}{2\pi}\left(\frac{2\pi(-1)^{n+1}}{in}+\left[\frac{1}{n^2} e^{inx}\right]_{-\pi}^{\pi}\right)\\ &=\frac{(-1)^{n+1}}{in} \end{align} }[/math]
이므로 \(f\)의 푸리에 급수는
- [math]\displaystyle{ \begin{align} \sum_{n\ne 0}\frac{(-1)^{n+1}}{in}e^{inx}&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{in}e^{inx}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{-n+1}}{in}e^{-inx}\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}2\frac{(-1)^{n+1}}{n}\frac{e^{inx}-e^{-inx}}{2i}\\ &=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}\sin nx}{n} \end{align} }[/math]
이다.
삼각 푸리에 급수
Trigonometric Fourier Series
어떤 주기함수 [math]\displaystyle{ f(t) = f(t+nT) }[/math] (n은 정수, T는 함수의 주기) 가 있다고 하자, 푸리에 정리에 의해서 모든 주기함수는 사인과 코사인 함수의 합으로 표현가능하다.
이걸 수식으로 쓰면 [math]\displaystyle{ f(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n \cos (n{\omega_o}t) + b_n \sin (n{\omega_o}t)) }[/math]이다. (단, [math]\displaystyle{ \omega_o }[/math]는 각주파수 [math]\displaystyle{ 2\pi f }[/math])
단, 푸리에 급수로 표현하기 위해서는 모든 시간 t에 대해서 [math]\displaystyle{ \int_{t}^{t+T} |f(t)|dt \lt \infty }[/math] 이어야 한다.
- a0 구하기
[math]\displaystyle{ a_0 = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} f(t)dt }[/math]이다. 한 주기의 평균값이다.
- an 구하기
[math]\displaystyle{ f(t) }[/math]에 [math]\displaystyle{ \cos (n{\omega_o}t) }[/math]를 곱한 다음 1주기 적분을 한다. 사인/코사인 함수에는 뭘 붙이던지 1주기 적분을 하면 그 값은 0이 된다.
[math]\displaystyle{ \int_{0}^{T} f(t)\cos (n{\omega_o}t)dt =\require{cancel}\cancelto{0}{\int_{0}^{T} a_0\cos (n{\omega_o}t)dt} + \sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{T}a_n \cos^2 (n{\omega_o}t)dt + \require{cancel}\cancelto{0}{\sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{T}b_n \sin (n{\omega_o}t)\cos (n{\omega_o}t)dt} }[/math]
[math]\displaystyle{ = \sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{T}a_n \cos^2 (n{\omega_o}t)dt }[/math]
그리고,
[math]\displaystyle{ \int_{0}^{T}a_n \cos^2 (n{\omega_o}t)dt =\int_{0}^{T}a_n\frac{1+\cos(2n\omega_0t)}{2} = a_n\frac{T}{2} }[/math]
이므로,
[math]\displaystyle{ a_n=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)\cos(n{\omega_o}t)dt }[/math] 이다.
- bn 구하기
[math]\displaystyle{ f(t) }[/math]에 [math]\displaystyle{ \sin (n{\omega_o}t) }[/math]를 곱한 다음 1주기 적분을 한다.
[math]\displaystyle{ \int_{0}^{T} f(t)\sin(n{\omega_o}t)dt =\require{cancel}\cancelto{0}{\int_{0}^{T} a_0 \sin(n{\omega_o}t)dt} + \require{cancel}\cancelto{0}{\sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{T}a_n \sin(n{\omega_o}t)\cos(n{\omega_o}t)dt }+ \sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{T}b_n \sin^2 (n{\omega_o}t) }[/math]
[math]\displaystyle{ = \sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{T}b_n \sin^2 (n{\omega_o}t) }[/math]
그리고,
[math]\displaystyle{ \int_{0}^{T}b_n \sin^2 (n{\omega_o}t)dt = \int_{0}^{T}b_n \frac{1-\cos(2n{\omega_o}t)}{2}dt = b_n\frac{T}{2} }[/math]이므로,
[math]\displaystyle{ b_n=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)\sin(n{\omega_o}t)dt }[/math] 이다.
예시
각주파수[math]\displaystyle{ \omega_0 }[/math]는 [math]\displaystyle{ \frac{2\pi}{T} }[/math]이고, [math]\displaystyle{ \frac{1}{\omega_0} = \frac{1}{2\pi f} = \frac{T}{2\pi} }[/math]이다, 자주 쓰이니 기억하자
구형파 (사각파)
진폭이 A이고 주기가 T인 구형파는 [math]\displaystyle{ f(t) = \frac{4A}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin((2n-1)\omega_0 t)}{2n-1} }[/math]이다.
증명
[math]\displaystyle{ f(t)= \begin{cases} A & 0 \lt t \lt \frac{T}{2} \\ -A & \frac{T}{2} \lt t \lt T \end{cases} }[/math]
[math]\displaystyle{ a_0 = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} f(t)dt }[/math] 이므로
[math]\displaystyle{ \frac{1}{T}\int_{0}^{T} f(t)dt = \frac{1}{T}\int_{0}^{T/2} A dt +\frac{1}{T}\int_{T/2}^{T} -A dt = \frac{At}{T} \bigg\vert_{0}^{T/2} + \frac{-At}{T} \bigg\vert_{T/2}^{T} = (\frac{A}{2} - 0) + (-A + \frac{A}{2}) = 0 }[/math]
그러므로 [math]\displaystyle{ a_0 = 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ a_n = \frac{2}{T}\int_{0}^{T} f(t)\cos(n\omega_0 t)dt = \frac{2}{T}\int_{0}^{T/2} A\cos(n\omega_0 t)dt + \frac{2}{T}\int_{T/2}^{T} -A\cos(n\omega_0 t)dt }[/math]
[math]\displaystyle{ = \frac{2}{T}\frac{A\sin(n\omega_0 t)}{n\omega_0}\bigg\vert_{0}^{T/2} -\frac{2}{T}\frac{A\sin(n\omega_0 t)}{n\omega_0}\bigg\vert_{T/2}^{T} }[/math]
[math]\displaystyle{ = \frac{A\sin(n\omega_0 t)}{n\pi}\bigg\vert_{0}^{T/2} -\frac{A\sin(n\omega_0 t)}{n\pi}\bigg\vert_{T/2}^{T} = \frac{A\sin(\frac{2n\pi}{T} t)}{n\pi}\bigg\vert_{0}^{T/2} -\frac{A\sin(\frac{2n\pi}{T}t)}{n\pi}\bigg\vert_{T/2}^{T} }[/math]
[math]\displaystyle{ =\left( \require{cancel}\cancelto{0}{\frac{A\sin(n\pi)}{n\pi}} - \require{cancel}\cancelto{0}{\frac{A\sin(0)}{n\pi}}\right) - \left( \require{cancel}\cancelto{0}{\frac{A\sin(2n\pi)}{n\pi}} - \require{cancel}\cancelto{0}{\frac{A\sin(n\pi)}{n\pi}} \right) = 0 }[/math] 이다.
[math]\displaystyle{ b_n = \frac{2}{T}\int_{0}^{T} f(t)\sin(n\omega_0 t)dt = \frac{2}{T}\int_{0}^{T/2} A\sin(n\omega_0 t)dt + \frac{2}{T}\int_{T/2}^{T} -A\sin(n\omega_0 t)dt }[/math]
[math]\displaystyle{ = -\frac{2}{T}\frac{A\cos(n\omega_0 t)}{n\omega_0}\bigg\vert_{0}^{T/2} + \frac{2}{T}\frac{A\cos(n\omega_0 t)}{n\omega_0}\bigg\vert_{T/2}^{T} = -\frac{A}{n\pi}\cos\frac{2n\pi}{T}t\bigg\vert_{0}^{T/2} + \frac{A}{n\pi}\cos\frac{2n\pi}{T}t\bigg\vert_{T/2}^{T} }[/math]
[math]\displaystyle{ = -\frac{A}{n\pi}(\cos n\pi - \cos(0)) + \frac{A}{n\pi}(\cos2n\pi - \cos n\pi) }[/math]
그런데, [math]\displaystyle{ \cos2n\pi=1 }[/math]이고, [math]\displaystyle{ \cos n\pi=(-1)^n }[/math]이다. 그러면 [math]\displaystyle{ b_n=\frac{2A}{n\pi}(1-(-1)^n) }[/math]이 성립한다.
그러므로, [math]\displaystyle{ b_n= \begin{cases} \frac{4A}{n\pi} & n=2k-1 \\ 0 & n=2k \end{cases} }[/math] (단, k는 정수) 가 성립한다.
그러면 [math]\displaystyle{ f(t) = \require{cancel}\cancelto{0}{a_0} + \require{cancel}\cancelto{0}{\sum_{n=1}^{\infty}a_n \cos (n{\omega_o}t)} + \frac{4A}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin((2n-1)\omega_0 t)}{2n-1} }[/math] 이다. [math]\displaystyle{ }[/math]
톱니파
sawtooth wave [math]\displaystyle{ f(t) = \frac{A}{T}t \quad (0 \lt t \lt T) }[/math]
[math]\displaystyle{ f(t) = \frac{A}{2} - \sum_{n=1}^{\infty}\frac{A}{n\pi} \sin n\omega_0 t }[/math]
증명
[math]\displaystyle{ a_0 = \frac{1}{T} \int_{0}^{T}\frac{A}{T}t dt = \frac{A}{T^2}\frac{t^2}{2}\bigg\vert_{0}^{T} = \frac{A}{2} }[/math]
[math]\displaystyle{ a_n = \frac{2}{T}\int_{0}^{T}\frac{A}{T}t\cos(n\omega_0 t) dt = \frac{2A}{T^2}\int_{0}^{T}t\cos(n\omega_0 t) dt }[/math]
[math]\displaystyle{ =\frac{2A}{T^2} \left( \frac{t\sin n\omega_0 t}{n\omega_0}+\frac{\cos n\omega_0 t}{(n\omega_0)^2} \right) \bigg\vert_{0}^{T} = \frac{2A}{T^2} \left( \left( \require{cancel}\cancelto{0}{\frac{T \sin 2n\pi}{\frac{2n\pi}{T}}}-0 \right)+ \left( \require{cancel}\cancelto{1}{\frac{\cos 2n\pi}{(\frac{2n\pi}{T})^2}} - \require{cancel}\cancelto{1}{\frac{\cos (0)}{(\frac{2n\pi}{T})^2}} \right) \right) = 0 }[/math]
그러므로 [math]\displaystyle{ a_n = 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ b_n = \frac{2}{T}\int_{0}^{T}\frac{A}{T}t\sin(n\omega_0 t) dt = \frac{2A}{T^2}\int_{0}^{T}t\sin(n\omega_0 t) dt }[/math]
[math]\displaystyle{ =\frac{2A}{T^2} \left( -\frac{t\cos n\omega_0 t}{n\omega_0}+\frac{\sin n\omega_0 t}{(n\omega_0)^2} \right) \bigg\vert_{0}^{T} = \frac{2A}{T^2} \left( \left( -\frac{T^2 \cos 2n\pi}{2n\pi}+0 \right)+ \left( \require{cancel}\cancelto{0}{\frac{\sin 2n\pi}{(\frac{2n\pi}{T})^2}} - \require{cancel}\cancelto{0}{\frac{\sin (0)}{(\frac{2n\pi}{T})^2}} \right) \right) = -\frac{A}{n\pi} }[/math]
그러므로 [math]\displaystyle{ b_n = -\frac{A}{n\pi} }[/math]
그러므로 [math]\displaystyle{ f(t) = \frac{A}{2} - \sum_{n=1}^{\infty}\frac{A}{n\pi} \sin n\omega_0 t }[/math] 성립. [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math]
사각 펄스 트레인
rectangular pulse train
진폭이 A, 펄스폭이 [math]\displaystyle{ \tau }[/math]이고 주기가 T인 사각 펄스 트레인은 [math]\displaystyle{ f(t) = \frac{A\tau}{T}+\frac{2A}{n\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \sin (\frac{n\pi \tau}{T}) \cos(n\omega_0 t) }[/math]
증명
[math]\displaystyle{ f(t)= \begin{cases} A, & (0\lt t \lt \frac{\tau}{2}) \\ 0, & (\frac{\tau}{2}\lt t \lt T-\frac{\tau}{2} )\\ A, & (T-\frac{\tau}{2}\lt t \lt T) \end{cases} }[/math]
[math]\displaystyle{ a_0=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) dt = \frac{1}{T} \left( \int_{0}^{\tau/2} A dt + \require{cancel}\cancelto{0}{\int_{\tau/2}^{T-\tau/2} 0 dt} + \int_{T-\tau/2}^{T} A dt \right) = \frac{1}{T}(\frac{A\tau}{2} + At\bigg\vert_{T}^{T-\frac{\tau}{2}}) = \frac{A\tau}{T} }[/math]
[math]\displaystyle{ a_n=\frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t)\cos (n\omega_0 t) dt }[/math] [math]\displaystyle{ = \frac{2}{T} \left (\int_{0}^{\tau/2} A \cos (n\omega_0 t) dt + \int_{T- \tau/2}^{T} A\cos (n\omega_0 t) dt \right) }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{2}{T} \left( A\frac{\sin \omega_0 t}{n\omega_0}\bigg\vert_{0}^{\tau/2} + A\frac{\sin \omega_0 t}{n\omega_0}\bigg\vert_{T-\tau/2}^{T} \right) }[/math]
[math]\displaystyle{ =\frac{2}{T} \left( A\frac{\frac{\sin n\pi \tau}{T}}{n\omega_0} - \require{cancel}\cancelto{0}{A\frac{\sin 0}{n\omega_0}} +\require{cancel}\cancelto{0}{A\frac{\sin 2n\pi}{n\omega_0}} - A\frac{\sin \frac{2n\pi}{T} (T-\frac{\tau}{2})}{n\omega_0} \right) }[/math]
[math]\displaystyle{ =\frac{2}{T} \left( A\frac{\frac{\sin n\pi \tau}{T}}{n\omega_0} - A\frac{- \frac{\sin n\pi \tau}{T}}{n\omega_0} \right) = \frac{2A}{T} \frac{\frac{\sin n\pi \tau}{T}}{n\omega_0} = \frac{2A}{n\pi} \sin \frac{n\pi \tau}{T} , \quad(\omega_0 = \frac{2\pi}{T}) }[/math]
[math]\displaystyle{ b_n=\frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t)\sin (n\omega_0 t) dt }[/math] [math]\displaystyle{ = \frac{2}{T} \left (\int_{0}^{\tau/2} A \sin (n\omega_0 t) dt + \int_{T- \tau/2}^{T} A\sin (n\omega_0 t) dt \right) }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{2}{T} \left( -A\frac{\cos \omega_0 t}{n\omega_0}\bigg\vert_{0}^{\tau/2} + -A\frac{\cos \omega_0 t}{n\omega_0}\bigg\vert_{T-\tau/2}^{T} \right) }[/math]
[math]\displaystyle{ = \frac{2}{T} \left( -\frac{A\cos \frac{2n\pi}{T} \frac{\tau}{2} }{n\omega_0} \require{cancel}\cancelto{0}{-(-\frac{A\cos(0)}{n\omega_0}) + (-\frac{A\cos 2n\pi}{n\omega_0})} - (-\frac{A\cos \frac{2n\pi}{T}(T-\frac{\tau}{2})}{n\omega_0}) \right) }[/math]
[math]\displaystyle{ = \frac{2}{T} \left( \require{cancel}\cancelto{0}{-\frac{A\cos \frac{2n\pi}{T} \frac{\tau}{2} }{n\omega_0} + \frac{A\cos \frac{2n\pi}{T}(T-\frac{\tau}{2})}{n\omega_0})} \right) =0 }[/math]
그러므로 [math]\displaystyle{ f(t) = \frac{A\tau}{T}+\frac{2A}{n\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \sin (\frac{n\pi \tau}{T}) \cos(n\omega_0 t) }[/math] 성립.
같이 보기
참고 문헌
- Stein, E., & Shakarchi, R. (2003). Fourier analysis an introduction. Princeton: Princeton University Press. ISBN 069111384X