정의
함수 \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\)가 \([a,b]\)에서 적분가능하고 \(b-a=L\)이라고 하자. 이때
- [math]\displaystyle{ \hat{f}(n)=\frac{1}{L}\int_a^b f(x)\exp\left(-\frac{2\pi inx}{L}\right)dx }[/math]
를 \(f\)의 n번째 푸리에 계수(Fourier coefficient)라고 하고
- [math]\displaystyle{ \sum_{n=-\infty}^{\infty} \hat{f}(n)\exp\left(\frac{2\pi inx}{L}\right) }[/math]
를 \(f\)의 푸리에 급수(Fourier series)라고 한다.
예시
\(f:[-\pi, \pi]\to \mathbb{R}\)이 \(f(x)=x\)로 정의되었다고 하자. 그러면
- [math]\displaystyle{ \hat{f}(0)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}xdx=0 }[/math]
이고 \(n\ne 0\)일 때
- [math]\displaystyle{ \begin{align} \hat{f}(n)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} xe^{-inx}dx\\ &=\frac{1}{2\pi}\left(\left[-\frac{1}{in}xe^{-inx}\right]_{-\pi}^{\pi}+\int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{in}e^{-inx}dx\right)\\ &=\frac{1}{2\pi}\left(\frac{2\pi(-1)^{n+1}}{in}+\left[\frac{1}{n^2} e^{inx}\right]_{-\pi}^{\pi}\right)\\ &=\frac{(-1)^{n+1}}{in} \end{align} }[/math]
이므로 \(f\)의 푸리에 급수는
- [math]\displaystyle{ \begin{align} \sum_{n\ne 0}\frac{(-1)^{n+1}}{in}e^{inx}&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{in}e^{inx}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{-n+1}}{in}e^{-inx}\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}2\frac{(-1)^{n+1}}{n}\frac{e^{inx}-e^{-inx}}{2i}\\ &=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}\sin nx}{n} \end{align} }[/math]
이다.
삼각 푸리에 급수
Trigonometric Fourier Series
어떤 주기함수 [math]\displaystyle{ f(t) = f(t+nT) }[/math] (n은 정수, T는 함수의 주기) 가 있다고 하자, 푸리에 정리에 의해서 모든 주기함수는 사인과 코사인 함수의 합으로 표현가능하다.
이걸 수식으로 쓰면 [math]\displaystyle{ f(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n \cos (n{\omega_o}t) + b_n \sin (n{\omega_o}t)) }[/math]
이다. (단, [math]\displaystyle{ \omega_o }[/math]는 각주파수 [math]\displaystyle{ 2\pi f }[/math])
단, 푸리에 급수로 표현하기 위해서는 모든 시간 t에 대해서 [math]\displaystyle{ \int_{t}^{t+T} |f(t)|dt \lt \infty }[/math] 이어야 한다.
- a0 구하기
[math]\displaystyle{ a_0 = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} f(t)dt }[/math]이다. 한 주기의 평균값이다.
- an 구하기
[math]\displaystyle{ f(t) }[/math]에 [math]\displaystyle{ \cos (n{\omega_o}t) }[/math]를 곱한 다음 1주기 적분을 한다. 사인/코사인 함수에는 뭘 붙이던지 1주기 적분을 하면 그 값은 0이 된다.
[math]\displaystyle{ \int_{0}^{T} f(t)\cos (n{\omega_o}t)dt =\require{cancel}\cancelto{0}{\int_{0}^{T} a_0\cos (n{\omega_o}t)dt} + \sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{T}(a_n \cos^2 (n{\omega_o}t)dt + \require{cancel}\cancelto{0}{\sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{T}b_n \sin (n{\omega_o}t)\cos (n{\omega_o}t)dt)} }[/math]
[math]\displaystyle{ = \sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{T}a_n \cos^2 (n{\omega_o}t)dt }[/math]
그리고,
[math]\displaystyle{ \int_{0}^{T}a_n \cos^2 (n{\omega_o}t)dt =\int_{0}^{T}a_n\frac{1+\cos(2n\omega_0t)}{2} = a_n\frac{T}{2} }[/math]
이므로,
[math]\displaystyle{ a_n=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)\cos(n{\omega_o}t)dt }[/math] 이다.
- bn 구하기
[math]\displaystyle{ f(t) }[/math]에 [math]\displaystyle{ \sin (n{\omega_o}t) }[/math]를 곱한 다음 1주기 적분을 한다.
[math]\displaystyle{ \int_{0}^{T} f(t)\sin(n{\omega_o}t)dt =\require{cancel}\cancelto{0}{\int_{0}^{T} a_0 \sin(n{\omega_o}t)dt} + \require{cancel}\cancelto{0}{\sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{T}a_n \sin(n{\omega_o}t)\cos(n{\omega_o}t)dt }+ \sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{T}b_n \sin^2 (n{\omega_o}t) }[/math]
[math]\displaystyle{ = \sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{T}b_n \sin^2 (n{\omega_o}t) }[/math]
그리고,
[math]\displaystyle{ \int_{0}^{T}b_n \sin^2 (n{\omega_o}t)dt = \int_{0}^{T}b_n \frac{1-\cos(2n{\omega_o}t)}{2}dt = b_n\frac{T}{2} }[/math]이므로,
[math]\displaystyle{ b_n=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)\sin(n{\omega_o}t)dt }[/math] 이다.
같이 보기
참고 문헌
- Stein, E., & Shakarchi, R. (2003). Fourier analysis an introduction. Princeton: Princeton University Press. ISBN 069111384X