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| {{학술 관련 정보}}
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| '''Fermat's theorem''' | | '''Fermat's theorem''' |
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| 페르마의 정리엔 소정리와 대정리(또는 마지막 정리) 두 가지가 있다.
| | [[피에르 드 페르마]]가 자기가 증명했다고 한 정리들로, 다음과 같이 있으나 이 중 가장 잘 알려진 것은 [[페르마의 마지막 정리]]. |
| | | *[[페르마의 마지막 정리]] <math>x^n+y^n \neq z^n</math>(<math>n\ge3</math>) |
| ==페르마의 소정리==
| | *[[페르마의 소정리]] |
| | | *[[페르마의 두 제곱수 정리]] |
| 밑에 있는 대정리에 기가 눌려서 그렇지 이쪽도 나름 유명한 정리이다. [[1640년]]에 처음으로 발표되었다. <s>근데 증명을 안 해 놓은 건 똑같다.</s> <s>아니 이 사람의 성격상 정리 해 놓고 공개 안 한 걸지도 모른다 [[카더라]].</s> 원고 형식의 증명은 [[1683년]]경 [[빌헬름 라이프니츠]]에 의해서, 출판 형식의 증명은 [[1736년]] [[레온하르트 오일러]]에 의해서 증명되었다.
| | *[[페르마의 다각수 정리]] |
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| 정리의 내용은 다음과 같다.
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| 소수 <math>p</math>와 양의 정수 <math>a</math>에 대해 <math>(a, p)=1</math> 이면 <math>a^{p-1}\equiv 1( \operatorname{mod } p)</math><ref>참고로 A-B가 N의 배수이면, 즉 A-B = Nk (k는 정수)이면 A≡B (mod N)라고 쓴다.</ref>
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| ==페르마의 마지막 정리==
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| 수학자 [[페이드 드 페르마]]의 정리. "3 이상 지수의 거듭제곱수는 같은 지수의 두 거듭제곱수의 합으로 나타낼 수 없다"는 정리다. 즉, a,b,c가 양의 정수이고, n이 3 이상의 정수일 때, 항상 <math> a^n +b^n \neq c^n </math>이다.
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| 하지만 페르마는 이 공식보다 더 유명한 주석을 남겼으니…
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| {{인용문|정렬=left|임의의 세제곱수는 다른 두 세제곱수의 합으로 표현될 수 없고, 임의의 네제곱수 역시 다른 두 네제곱수의 합으로 표현될 수 없으며, 일반적으로 3 이상의 지수를 가진 정수는 이와 동일한 지수를 가진 다른 두 수의 합으로 표현될 수 없다. 나는 이것을 경이로운 방법으로 증명하였으나, '''책의 여백이 충분하지 않아 옮기지는 않는다.'''|디오판토스의 《산법》<small>(1621)</small>의 여백}}
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| [[파일:Diophantus-II-8-Fermat.jpg|260픽셀|오른쪽|섬네일|8번 문제 밑에 Observatio domini Petri di Fermat로 달려 있는 주석. <s>[[만악의 근원]]</s>]]
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| {{ㅊ|본 편집자는 페르마의 정리를 경이로운 방법으로 서술하였으나, 항목의 여백이 충분하지 않아 옮기지는 않는다.}}
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| [[1995년]] 앤드루 와일즈 교수에 의해 {{ㅊ|400년 만에}}증명되었다.{{ㅊ|풀이 과정이 다른 의미로 경이롭다}}<ref>[[위키백과:페르마의 마지막 정리]]</ref> | |
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| ===역사===
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| ====<math>n=4</math>일 때의 증명====
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| 페르마 자신은 <math>n=4</math>에 대한 증명을 내놓았다. <math>x^4+y^4=z^4</math>을 만족하는 정수해가 없음을 증명하려 페르마는 정수해가 있다는 가정을 한 후 여기서 생기는 논리적 모순을 찾았다. 개략적으로 설명하면, <math>x^4+y^4=z^4</math>을 만족하는 정수가 있다 가정했으니 그 정수해를 <math>x=X_1, y=Y_1, z=Z_1</math>로 놓는다. 이 세개의 정수해, 즉 <math>X_1, Y_1, Z_1</math>의 성질을 잘 살펴보면 기존의 방정식을 만족하면서 이보다 작은 값을 갖는 또다른 정수해, 즉 <math>X_2, Y_2, Z_2</math>가 반드시 존재해야 함을 증명할 수 있다. <s>이에 대한 자세한 수학적 과정은 따분할 수 있으므로 [[자세한 설명은 생략한다|생략하자]]</s> 또 새로 얻은 정수해에 같은 논리를 적용하면 이보다 작은 정수해, 즉 <math>X_3, Y_3, Z_3</math>이 또 존재해야 하며 이는 수없이 반복된다.
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| 이 과정은 이론상 무한히 반복될 수 있으므로 무한히 작은 정수해를 구할 수 있다는 결론이 내려진다. 하지만 <math>x, y, z</math>는 정수이다. 무한히 작은 정수가 존재할 리 없다. 그러니 이 반복과정은 언젠가 끝나야 한다. 근데 이 논리의 결과는 이 과정이 무한히 반복될 수 있다 했으니 이는 모순이다. 모순이 나온 이유는 단 한가지. 바로 <math>x^4+y^4=z^4</math>를 만족하는 정수해, 즉 <math>X_1, Y_1, Z_1</math>는 존재하지 않는다는 것이다. 이렇게 페르마는 <math>n=4</math>일 때 정수해가 존재하지 않는다는 것을 증명했다. 하지만 페르마는 분명히 '''3 이상의 모든 <math>n</math>값에 대해 증명을 했다 주장했다.''' <s>여백이 부족하다며</s>
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| ====오일러의 <math>n=3</math>일 때의 증명====
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| 페르마는 <math>n</math>이 3 이상일 때 성립하지 않는다 했으므로 [[레온하르트 오일러]]는 <math>n=3</math>일 때의 증명을 먼저 증명하려 했다. 페르마가 증명한 <math>n=4</math>일 때의 경우를 <math>n=3</math>인 경우에 적용시키기 위해 오일러는 [[허수]]라는 개념을 사용했다. 오일러 이전에 다른 <math>n</math>값의 증명을 <math>n=4</math>일 때 페르마가 사용한 [[귀류법]]으로 해결해보려 했지만 <math>n=4</math>때는 전혀 나타나지 않은 논리적인 모순이 생겼다. 그런데 오일러는 허수 <math>i</math>를 사용해 논리적 허점을 보완함에 성공했고 귀류법으로 <math>n=3</math>의 경우의 증명을 해냈다. '''하지만''' <math>n</math>'''이 5 이상인 경우에는 이것도 전혀 먹혀들지 못했다. '''
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| ====<math>n</math>이 합성수일 때====
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| 그로부터 한동안 오일러 이후 이 문제에 별다른 진전이 보이지 못했다. 그러나 잘 살펴보면 무언가 조금 쉬워 보인다. <math>n=4</math>일 경우가 이미 증명되었으니 4의 배수인 8, 12,16, 20, 24, 28, …인 경우들도 증명된 것이다. 임의의 수의 8제곱, <math>X^8</math>은 또다른 임의의 수의 4제곱인, <math>X^2)^4</math>로 나타낼 수 있기 때문이다. 그러니까 <math>n=4</math>, <math>n=3</math>일 때가 증명되었으니 <math>n</math>이 3,4의 배수일 때도 증명된 것이다. 그러면 모든 수를 다 살펴볼 필요 없이 소수들에 대해서만 증명하면 되는 것이다. '''그러나 소수의 개수는 무한하다.'''<s>망했어요</s>
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| ====소피 제르맹의 접근법====
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| 그리고 이 문제는 19세기까지 정수론 분야에서 풀리지 않는 문제로 수많은 수학자들을 절망시켰다. 그리고 점점 잊혀갔다. 그러다 [[소피 제르맹]]이라는 프랑스 여성 수학자가 새로운 실마리를 제공했다. 제르맹은 다음과 같은 소수들에 관심을 가졌다. <math>p</math>가 임의의 소수일 때 <math>2p+1</math>도 소수가 된다. 이때 <math>p</math>를 제르맹의 이름을 따서 제르맹 소수라 한다. 제르맹은 제르맹 소수에 속하는 모든 소수 <math>n</math>에 대해 <math>x^n+y^n=z^n</math>을 만족하는 <math>(x, y, z)</math>의 정수해가 존재하지 않는 것 같다는 논리를 전개시켰다. 제르맹이 증명한 바에 따라 제르맹 소수 <math>n</math>에 한해 정수해 <math>(x, y, z)</math>가 존재하려면 <math>x, y, z</math> 중 하나 이상은 무조건 <math>n</math>의 배수가 되어야 한다. 이 논리가 알려진 후 수학자들은 제르맹 소수 <math>n</math>에 대해 <math>n</math>의 배수로 표현되는 <math>(x, y, z)</math> 정수 집합으론 <math>x^n+y^n=z^n</math>이 성립치 않음을 증명하려 하였다.
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| 이 방법을 이용해 1825년, [[페테르 구스타프 르죈느 디리클레]]와 [[아드리앵 마리 르장드르]]가 <math>n=5</math>일 때의 증명을 각각 혼자 해냈다. 그리고 1839년에는 [[가브리엘 라메]]가 <math>n=7</math>일 때의 증명을 해냈다. '''하지만...'''
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| ====쿰머의 아이디얼 이론====
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| 제르맹이 페르마의 마지막 정리를 풀 수도 있겠다는 희망을 준 후 프랑스 과학학술원은 페르마의 마지막 정리에 3000프랑의 상금을 걸었다. 그러다 1847년 3월, 파리 학술원에서 앞서 <math>n=7</math>일 때의 증명을 해낸 가브리엘 라메가 자기가 이 문제를 풀었다 했다. 아직 완전치 않으나 최대한 빨리 증명을 완성하겠다 발표했다. 그런데 오귀스탱 루이 코시도 회의장에서 자기도 증명했다 하였다. 그로부터 한 달 후인 4월에 둘은 증명 결과를 냈다. 하지만 뭔가 좀 애매한 게 많았다. 5월에 결국 [[에른스트 쿰머]]가 둘 다 틀렸음을 증명했다.
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| 코시와 라메는 [[소인수분해]]을 사용해 증명했다. 소인수분해를 이용하는 것까지는 나쁘지 않으나 그들의 증명에는 허수가 나온다는 것이다. 모든 실수는 소인수분해될 수 있으며 이를 하는 방법은 단 한가지다. 하지만 허수로 인수 분해를 하면 어떤 임의의 수는 무한히 많은 방법으로 인수 분해될 수 있다. 인수 분해되는 방법이 한가지가 아니면 둘의 증명에는 큰 문제가 있지만 그래도 쿰머의 방법은 <math>n</math>이 31 이하의 소수에는 잘 들어맞는다. 하지만 <math>n</math>이 37, 59, 67 등의 경우가 문제다. 이러한 짜증나는 소수들을 비정규 소수라고 한다. 매우 큰 소수들 중에서도 비정규 소수는 나온다. 쿰머는 정규 소수일 경우에 증명은 완성했지만 비정규 소수가 문제였다. 페르마의 마지막 정리를 증명하려면 <math>n</math>이 비정규 소수인 경우에 대해서만 증명하면 되는 것이다. 하지만 당시의 수학 수준으로는 증명이 불가능했기에 1857년 프랑스 학술원은 상금을 폐지했다.
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| ====볼프스켈 상====
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| 파울 볼프스켈이라는 사람이 한 여인에게 고백을 했는데 차였다. 큰 충격을 받은 볼프스켈은 자살을 결심한다. 자살할 날을 정해 놓고 마지막 편지를 다 쓰니 자살 예정 시각까지는 몇 시간이 남아 있었다. 아무 생각없이 서재에서 수학책들을 보며 시간을 보내다 쿰머의 논문을 읽게 된다. 그러다 쿰머의 논리에 숨어있던 논리적 허점이 보인 것이다. 쿰머는 하나의 가정을 내세우고 논리를 전개했는데, 그 가정에 기초한 쿰머의 논리는 끝맺지 못했다. 쿰머가 잘못된 가정을 내세운 것이 아닐까라는 생각에 논문을 살펴보았다. 볼프스켈은 아침이 밝아올 때까지 쿰머의 논리를 뒤집지는 못하고 보완하는 결론을 내렸다.<s>자살은 막았다</s> 볼프스켈은 유서를 찢고 페르마의 정리를 증명하는 사람에게 자신의 전재산, 10만 마르크를 상금으로 준다고 내걸었다. 현재의 화폐가치로 18억 원을 넘는 거금이다. 이 상금은 볼프스켈이 죽은 후 1908년 괴팅겐의 왕립과학원에 맡겨졌으며 볼프스켈 상이라 이름지어졌다.
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| ====[[모듈러성 정리|타니야마-시무라 추론]]과 프레이의 논리====
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| [[모듈러성 정리|타니야마-시무라 추론]]은 모듈 형태의 M-급수와 타원 방정식의 E-급수가 완전하게 일치한다는 추론이다. 이 둘은 완전히 다른 수학 분야이나 모두 1:1 대응 일치한다. 이는 후에 앤드류 와일즈가 증멍한 이후에는 [[모듈러성 정리]]라고 불리게 된다. | |
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| 1984년에 게르하르트 프레이는 타니야마-시무라의 추론을 증명할 만한 실마리는 제공하지 못했지만 타니야마-시무라의 추론이 증명되면 페르마의 마지막 정리도 증명된다고 하였다. <math> x^n + y^n = z^n </math> (n은 3 이상의 정수) 에서 페르마가 주장하는 바는 이 방정식을 만족하는 정수해, <math>x, y, z</math>가 존재하지 않는다는 것이다. 프레이는 조금 생각을 바꾸어 페르마의 정리가 거짓인 경우를 생각했다. 그러러면 위의 방정식을 만족하는 정수해가 하나라도 나와야 한다. 프레이는 이 가상의 정수해가 무엇인지 모르므로 다음과 같이 바꾸었다. <math> A^n + B^n = C^n </math> 그후 몇 단계의 의미가 같은 지극히 정상적인 계산 후에 페르마의 방정식은 이렇게 바뀌었다. <math> y^2 = x^3 + (A^N - B^N)x^2 - A^N B^N </math> 이것은 페르마의 방정식에 정수해가 존재하면 무조건 성립해야 한다. 그런데 이 방정식은 바로 타원 방정식의 형태이다. 일반적으로 타원방정식은 다음과 같다. <math> y^2 = x^3 +ax^2 + bx + c </math> 여기서 <math>a = A^N - B^N, b = 0, c = -A^NB^N</math> 를 대입하면 앞서 프레이가 만든 방정식이 된다. 이로써 페르마의 방정식이 타원 방정식의 형태로 바뀌며 페르마의 마지막 정리와 타니야마-시무라 추론과 연결되었다. 그리고 프레이는 이 타원 방정식이 정상에서 벗어난 기형적인 방정식인 것에 주목했다. 타니야마-시무라의 추론에 의하면 모든 타원 방정식은 모듈적 성질을 갖고 있어야 한다. 그러면 타니야마-시무라의 추론은 틀리게 된다. 이를 반대로 하면 타니야마-시무라 추론이 맞다고 증명되면 페르마의 마지막 정리도 맞게 되는 것이다.
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| ====프레이의 오류와 켄 리벳====
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| 그런데 프레이는 페르마의 방정식으로 유도된 타원 방정식이 비정상적인 모습을 하고 있다 했는데 그것을 증명하지 못하는 오류를 범한다. 이는 기초 수학문제처럼 보여서 간단히 해결될 거 같았지만 생각보다 안풀리게 된다. 수학자들은 불변량을 찾으려고 하였다. 프레이의 타원 방정식을 서술할 수 있는 모종의 불변량을 발견하기만 하면 프레이의 타원 방정식이 모듈 형태로 변환할 수 없다는 것을 증명할 수 있다. 1986년 켄 리벳은 8개월동안 증명에 시간을 보내다 카페에서 마주르의 조언으로 (M)구조의 감마-제로를 끼워넣어 프레이의 타원방정식이 모듈 형태로 변환되지 않는다는 것을 증명해냈다. 이제 남은 것은 타니야마-시무라 추론의 증명뿐이었다.
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| ====앤드류 와일즈의 증명====
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| 앤드류 와일즈는 [[귀납법]]을 사용해 타니야마-시무라 추론은 증명하려 했다. 와일즈는 그 첫 단계로 [[에바리스트 갈루아]]의 [[군론]]을 사용했다. 수학자들은 E-급수와 M-급수가 서로 연관됨을 가장 간단한 경우에서 증명하고 그 다음의 경우로 넘어가는 방법을 사용했다. 그런데 무한히 많은데 그런 논리를 찾기란 어려웠다. 와일즈는 모든 E-급수의 한 원소와 모든 M-급수의 한 원소를 비교후 그 다음 원소로 넘어가는 방법을 시도했다. 사실 이 방법도 무한대이긴 하나 이 방법을 사용하면 분명한 순서가 정해져 있기에 귀납법을 사용할 수 있던 것이었다. 결국 모든 E-급수의 첫번째 원소들이 모든 M-급수의 첫 번째 원소들과 정확하게 일치한다는 결론을 내린다. 이제 남은 것은 모든 E-급수의 n번째 원소들과 모든 M-급수의 n번째 원소들이 서로 일치한다면 모든 E-급수의 n+1번째 원소들과 모든 M-급수의 n+1번째 원소들도 서로 일치함을 증명하면 타니야마-시무라의 추론은 증명되는 것이다.
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| == 유사 사례 ==
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| 인터넷 상에서 자주 사용되는 것으로 "[[더 이상의 자세한 설명은 생략한다]]"가 [[근성체|있다?]] {{ㅊ|우와아앙?}}
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| {{주석}} | | {{동음이의}} |
| [[분류:정수론]] | | [[분류:정수론]] |
| [[분류:수학 정리]] | | [[분류:수학 정리]] |
