페르마의 두 제곱수 정리(프랑스어: Théorème des deux carrés de Fermat, Fermat's theorem on sums of two squares, -數 定理)는 정수론의 정리로, 프랑스의 알베르 지라르가 1632년 처음 착상하고 역시 프랑스 수학자인 피에르 드 페르마가 1640년 마랭 메르센에게 보내는 편지에서 처음 증명을 제시하였으나 완전하지 못했다. 이 정리가 처음 증명된 것은 1749년 스위스 수학자 레온하르트 오일러가 크리스티안 골트바흐에게 보내는 편지에서였다.
이 정리는 다음과 같은 내용을 담고 있다.[1]
- 만약 어떤 소수 p가 4로 나누어 나머지가 1이 된다면, 적당한 두 자연수 a, b가 존재하여 [math]\displaystyle{ p = a^2 + b^2 }[/math] 를 만족한다.
증명[편집 | 원본 편집]
오일러가 처음 제시한 증명은 무한강하법을 이용하는 것이었으나, 현재까지 제시된 이 정리의 증명 중에서는 비교적 복잡하다. 여기서는 투에의 보조정리(Thue's Lemma)를 이용한 증명을 제시한다.[1]
투에의 보조정리 증명[편집 | 원본 편집]
투에의 보조정리는 다음과 같이 주어진다.
만일 GCD(a,n)=1이면, |x|<√n, |y|<√n과 ax≡y (mod n)을 만족하는 x, y가 존재한다.
우선 법 n에 대해 집합 {ax-y| 0≤x≤√n, 0≤y≤√n}를 생각한다. 그러면 이 집합의 원소의 개수는 최소 [math]\displaystyle{ (\lfloor{\sqrt n}\rfloor +1)^2 }[/math]개가 된다. 분명히 법 n은 n개의 합동이 아닌 원소를 포함하고 있고, [math]\displaystyle{ (\lfloor{\sqrt n}\rfloor +1)^2 \gt n }[/math]이므로 비둘기집의 원리에 의해서 ax0-y0=ax1-y1를 만족하는 x0, x1, y0, y1가 존재한다. 따라서 a(x0-x1)=y0-y1가 되고, x0-x1 , y0-y1의 절댓값은 √n보다 작게 된다.
정리의 증명[편집 | 원본 편집]
4k+1 꼴의 소수 p에 대해서는 -1이 제곱잉여가 되므로, [math]\displaystyle{ a^2 \equiv -1 \pmod{p} }[/math] 가 되는 정수 a가 존재한다.
(a, p) = 1이므로, 투에의 보조정리에 따라서, 합동식 [math]\displaystyle{ ax \equiv y \pmod{p} }[/math] 와 [math]\displaystyle{ 0 \lt |x|, |y| \lt \sqrt{p} }[/math] 을 만족하는 정수 x, y가 존재한다.
그러므로,
- [math]\displaystyle{ y^2 \equiv (ax)^2 \equiv -x^2 \pmod{p} }[/math]
이므로 적당한 정수 r에 대해 [math]\displaystyle{ x^2 + y^2 = rp }[/math] 이 된다. 그런데 x, y의 조건에 의해 이를 만족하는 r은 1뿐이다.
반면 모든 제곱수는 4k+1 또는 4k꼴이기에 두 제곱수의 합은 4k(짝수+짝수), 4k+1(짝수+홀수), 4k+2(홀수+홀수)꼴만 존재하고, 4k+3 형태는 존재하지 않음을 알 수 있다.
확장[편집 | 원본 편집]
페르마의 두 제곱수 정리는 다음과 같은 꼴로 확장할 수 있다.[1]
- 자연수 n이 두 제곱수의 합으로 표현될 필요충분조건은 적당한 자연수 a와 4n+3 꼴의 소인수를 갖지 않는 제곱 자유수 b에 대해 [math]\displaystyle{ n = a^2b }[/math] 일 것이다.
충분조건은 어떤 두 제곱수의 합으로 표현되는 수의 곱도 두 제곱수의 합임을 이용하면 자명하다. 필요조건의 증명에는 제곱잉여의 이론을 이용하면 쉽게 증명할 수 있다.
같이 보기[편집 | 원본 편집]
참고 문헌[편집 | 원본 편집]
- 오정환, 이준복 (2003). 《정수론》
각주
