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== 증명 == | == 증명 == | ||
=== 조합론적 증명 === | === 조합론적 증명 === | ||
<math>n</math>개의 물체에서 <math>r</math>개를 고른다하자. 먼저 <math>n</math> | <math>n</math>개의 물체에서 <math>r</math>개를 고른다하자. 먼저 <math>n</math>개 중 1개를 고정시킨다. 그럼 구하고자하는 [[경우의 수]]는 그 1개가 있을 경우와 없을 경우의 두 가지뿐이다. 전자의 경우 <math>n-1</math>개 중 <math>r-1</math>개를 고르면 되므로 가짓 수는 <math>\binom{n-1}{r-1}</math>. 후자의 경우 <math>n-1</math>개 중 <math>r</math>개를 고르면 되므로 가짓 수는 <math>\binom{n-1}{r}</math>. 합의 법칙에 의해, <math>\binom{n}{r}=\binom{n-1}{r-1}+\binom{n-1}{r}</math>. | ||
=== 대수적 증명 === | === 대수적 증명 === | ||
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== 여러 가지 성질 == | == 여러 가지 성질 == | ||
#같은 줄의 연속된 두 수를 더한 값은 아랫줄의 더한 두 수 사이에 있다.<ref>사실 이게 파스칼의 삼각형의 정의이다.</ref> | |||
#모서리의 1부터 대각선방향으로 쭉 더한 값은 다음 줄의 같은방향 숫자 옆에 있다(하키스틱 모양처럼). | |||
#사선방향으로 더하면 [[피보나치 수열|피보나치 수]]가 나온다. | |||
이 외 다른 성질들은 [http://insigsaem.tistory.com/1|] 참조. | 이 외 다른 성질들은 [http://insigsaem.tistory.com/1|] 참조. | ||
== 관련 | == 관련 문서 == | ||
* [[조합]] | * [[조합]] | ||
* [[이항정리]] | * [[이항정리]] | ||
{{각주}} | |||
[[분류:조합론]] | [[분류:조합론]] | ||
2018년 2월 3일 (토) 00:18 판
이항계수를 삼각형 모양으로 나열한 것. 블레즈 파스칼이 13살 때 발견하여 이항계수를 구할 때 써먹었다. 다만 차수가 커지면 삼각형을 그리는 것보다 이항정리를 사용하여 직접 구하는 쪽이 좀 더 빠르다. 삼각형을 수학 공식으로 나타내면 아래와 같다.
“ [math]\displaystyle{ n,r }[/math]가 음이 아닌 정수이고, [math]\displaystyle{ 1\leq r\leq n-1 }[/math]일 때, [math]\displaystyle{ \binom{n}{r}=\binom{n-1}{r-1}+\binom{n-1}{r} }[/math][1] “
증명
조합론적 증명
[math]\displaystyle{ n }[/math]개의 물체에서 [math]\displaystyle{ r }[/math]개를 고른다하자. 먼저 [math]\displaystyle{ n }[/math]개 중 1개를 고정시킨다. 그럼 구하고자하는 경우의 수는 그 1개가 있을 경우와 없을 경우의 두 가지뿐이다. 전자의 경우 [math]\displaystyle{ n-1 }[/math]개 중 [math]\displaystyle{ r-1 }[/math]개를 고르면 되므로 가짓 수는 [math]\displaystyle{ \binom{n-1}{r-1} }[/math]. 후자의 경우 [math]\displaystyle{ n-1 }[/math]개 중 [math]\displaystyle{ r }[/math]개를 고르면 되므로 가짓 수는 [math]\displaystyle{ \binom{n-1}{r} }[/math]. 합의 법칙에 의해, [math]\displaystyle{ \binom{n}{r}=\binom{n-1}{r-1}+\binom{n-1}{r} }[/math].
대수적 증명
[math]\displaystyle{ \binom{n-1}{r-1}+\binom{n-1}{r}=\frac{\left(n-1\right)!}{\left(r-1\right)!\left(n-r\right)!}+\frac{\left(n-1\right)!}{r!\left(n-r-1\right)!}=\frac{\left(n-1\right)!r}{r!\left(n-r\right)!}+\frac{\left(n-1\right)!\left(n-r\right)}{r!\left(n-r\right)!}=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}=\binom{n}{r} }[/math]
여러 가지 성질
- 같은 줄의 연속된 두 수를 더한 값은 아랫줄의 더한 두 수 사이에 있다.[2]
- 모서리의 1부터 대각선방향으로 쭉 더한 값은 다음 줄의 같은방향 숫자 옆에 있다(하키스틱 모양처럼).
- 사선방향으로 더하면 피보나치 수가 나온다.
이 외 다른 성질들은 [1] 참조.