절댓값은 실수에서만 정의되는지
토론은 아니고 좀 멍충한 질문 같은 건데요,
복소수는 잠깐 별론으로 하고 실수에서의 절댓값의 정의를 잘 뜯어 보면, 사실 절댓값의 정의를 위해 완비순서체일 필요는 없고, linear order가 있는 아벨군이면 족한 것으로 보입니다.
좀 더 파고들자면 linear order도 필요 없고 그냥 양수와 음수 개념만 잘 정의되어도 되고, 아벨군일 것도 필요 없고 그냥 단항 연산자 −만 잘 정의되어 있으면 되는 것 같은데요(여기까지 내려와 버리면 노름으로서의 역할은 거의 포기해야 할 것 같긴 합니다),
이럼에도 불구하고 왜 굳이 실수에서만 정의하는지 갑자기 궁금합니다. --휴면유동닉 (토론) 2015년 8월 15일 (토) 00:03:29 (KST)
- 한마디 적자면,, 원점과 거리만 잘 설정한다면 절댓값은 어떠한 구조에서건 충분히 만들 수 있을 것이라고 봅니다. 다만 그 때에는 절댓값보다는 놂이라고 부르지 않을까 합니다. 실수는 일단 수학적으로 정의하기 전부터 알고 있었던 거고 특수한 경우라 실수(와 복소수, 사원수)에서의 노름은 특별히 절댓값이라고 부르겠어! 하는 경우같다는 생각입니다. --ZhunyBot 2015년 8월 15일 (토) 01:57:26 (KST)
- 어 그러니까요, 제 질문과는 전혀 다른 말씀을 하신 것 같은데요,
- 지금 본문의 서술도 그렇고 Zhuny 님도 그렇고 ‘절댓값’이라는 것 자체를 아예 노름으로 이해하고 계세요. 전 노름을 확장하자는 게 아니구요, 실수에서의 정의, 즉 “양수이면 x, 음수이면 −x” 자체에 대한 얘기를 하고 있는 거예요. 이 정의는 양수와 음수 개념과 단항 연산자 −만 잘 정의되어 있으면 어느 집합에서든 가능한 정의거든요. 그런데 왜 굳이 실수에서만 정의하느냐 하는 거죠. 달리 보면 노름인 게 본질이냐 아니냐 하는 질문과 이어져 있기도 하구요. --휴면유동닉 (토론) 2015년 8월 15일 (토) 19:31:43 (KST)