텐서

소개

여러 의미가 혼용되어서 빡치는 단어. 물리랑 수학 하다보면 언젠가 보고 화가 날 단어다.

일단 아주 대충 집필했으니 추가바람

텐서는 뭐가 있나

텐서곱

대충 말해, 텐서곱을 취한다는건 (a,b)+(a,c)=(a,b+c), (a,c)+(b,c)=(a+b,c), (ar,b)=(a,rb)인 순서쌍들의 모임이다.

물리학자들과 공학자들이 사용하는 텐서는 특히 V와 V*끼리면 유한번 텐서한 것을 의미한다. (이렇게 하면 V와 V*의 direct sum을 하고 그것의 dual을 취한것과 isomorphic해진다)

텐서

벡터랑 코벡터를 몇개씩 주면 숫자를 뱉는 함수를 텐서라고 한다.

텐서장

텐서를 다양체 위에 연속적으로 분포한걸 텐서장 (tensor field)라고 한다. 학부 저학년에게 친숙할 벡터장의 일반화이다. differential 1-form 역시 텐서장의 예이다.

tensor bundle의 smooth section이라고도 정의한다.

리만 거리텐서

다양체 위에 거리를 잴 수 있게 만든 텐서. 벡터 두 개를 주면 숫자를 뱉게 되어있으므로 사실상 내적의 일반화이다.

Tor 함자

텐서곱을 취하는 행위는 함자 (functor)로 볼 수 있으며 right exact functor이다. left exact는 안된다. 그래서 이거 보충해주려면 Tor functor를 쓰자.