텐서

소개

여러 의미가 혼용되어서 빡치는 단어. 물리랑 수학 하다보면 언젠가 보고 화가 날 단어다.

일단 아주 대충 집필했으니 추가바람

텐서는 뭐가 있나

텐서곱

대충 말해, 텐서곱을 취한다는 건 (a,b)+(a,c)=(a,b+c), (a,c)+(b,c)=(a+b,c), (ar,b)=(a,rb)인 순서쌍들의 모임이다.

물리학자들과 공학자들이 사용하는 텐서는 특히 V와 V*끼리면 유한번 텐서한 것을 의미한다. (이렇게 하면 V와 V*의 direct sum을 하고 그것의 dual을 취한 것과 isomorphic해진다)

텐서

벡터랑 코벡터를 몇 개씩 주면 숫자를 뱉는 함수를 텐서라고 한다.

텐서장

텐서를 다양체 위에 연속적으로 분포한 걸 텐서장 (tensor field)라고 한다. 학부 저학년에게 친숙할 벡터장의 일반화이다. differential 1-form 역시 텐서장의 예이다.

tensor bundle의 smooth section이라고도 정의한다.

리만 거리텐서

다양체 위에 거리를 잴 수 있게 만든 텐서. 벡터 두 개를 주면 숫자를 뱉게 되어 있으므로 사실상 내적의 일반화이다.

Tor 함자

텐서곱을 취하는 행위는 함자 (functor)로 볼 수 있으며 right exact functor이다. left exact는 안 된다. 그래서 이거 보충해주려면 Tor functor를 쓰자.