코시의 적분공식(Cauchy's integral formula)은 복소함수론의 정리이다.
진술
$\Gamma$를 양의 방향의 단순닫힌 경로라고 하자. $f$가 $\Gamma$를 포함하는 단순연결영역에서 해석적이고 $z_0$이 $\Gamma$ 내부의 임의의 점이라면,
- [math]\displaystyle{ f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\Gamma} \frac{f(z)}{z-z_0}dz }[/math]
이다. 더욱이 $f$의 $n$계도함수는
- [math]\displaystyle{ f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\int_{\Gamma}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz }[/math]
로 나타낼 수 있다.
증명
$\dfrac{f(z)}{z-z_0}$는 $z_0$을 제외한 $D$ 위의 모든 점에서 해석적이다. 따라서 $\Gamma$는 양의 방향을 가지는 원 $C_r : |z-z_0|=r$로 연속적 변형이 가능하다. 따라서
- [math]\displaystyle{ \int_{\Gamma} \frac{f(z)}{z-z_0}dz=\int_{C_r} \frac{f(z)}{z-z_0}dz }[/math]
이다. 이때
- [math]\displaystyle{ \int_{C_r} \frac{f(z)}{z-z_0}dz=\int_{C_r} \frac{f(z_0)}{z-z_0}dz+\int_{C_r} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}dz }[/math]
이고, $\displaystyle \int_{C_r} \frac{f(z_0)}{z-z_0}dz =f(z_0)2\pi i$이므로,
- [math]\displaystyle{ \int_{\Gamma} \frac{f(z)}{z-z_0}dz = f(z_0)2\pi i + \int_{C_r} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}dz }[/math]
이다. $M_r=\max\{|f(z)-f(z_0)| : z\; \mathrm{on}\; C_r\}$이라 하자. 그러면
- [math]\displaystyle{ \left|\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\right|\le \frac{M_r}{r} }[/math]
이므로
- [math]\displaystyle{ \left|\int_{C_r} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}dz\right|\le 2\pi r \cdot \frac{M_r}{r} = 2\pi M_r }[/math]
이다. $f$는 $z_0$에서 연속이므로, $r\to 0$일 때 $M_r \to 0$이다. 따라서
- [math]\displaystyle{ \lim_{r\to +0}\int_{C_r} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}dz=0 }[/math]
이고, 원하는 결론을 얻는다.
예시
$C$를 양의 방향으로 한 번 가로지르는 원 $|z|=2$라고 할 때, $\displaystyle \int_C \frac{\sin z}{z^2(z-4)}dz$의 값을 구하자.
$f(z)=\dfrac{\sin z}{z-4}$로 정의하면, $\displaystyle \int_C \frac{\sin z}{z^2(z-4)}dz=\int_C \frac{f(z)}{z^2}dz$이고 $f'(z)=\dfrac{(z-4)\cos z-\sin z}{(z-4)^2}$이다.
따라서 $\displaystyle \int_C \frac{\sin z}{z^2(z-4)}dz=\int_C \frac{f(z)}{z^2}dz=f'(0)2\pi i=-\dfrac{\pi i}{2}$를 얻는다.
같이 보기
참고문헌
- Saff, E. B.; Snider, A. D. (2003), Fundamentals of Complex Analysis with Applications to Engineering, Science, and Mathematics (3rd ed.), Prentice Hall, ISBN 0139078746