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'''집합(Set)'''은 대상들을 모아 놓은 것을 말한다. 물론 이는 순진한 집합론에서의 이야기이고, 공리적 집합론에서는 [[러셀의 역설]]을 피하기 위하여 여러 공리들을 세워 놓았다. == 순진한 집합론 == === 정의 === 순진한 집합론(naive set theory)에서는 칸토어가 처음 정의한 대로, 잘 정의된 수학적 대상을 모아놓은 것<ref>이 글에서 모임은 collection과 class 두 가지가 있다. 전자는 단순히 모아놓았다는 것을 표현하는 단어이며, 후자는 (예전엔 유(類)라고도 불렀던, 집합이 되기엔 크기가 너무 큰) 수학적 개념을 말한다.</ref>을 '''집합'''(set)이라고 하며, 이때 집합의 구성 요소를 '''원소'''(element)라고 한다. 만약 ''a''가 집합 ''A''의 원소라면, : <math>a\in A</math> 로 표기한다. 만약 ''a''가 집합 ''A''의 원소가 아니라면, : <math>a\not\in A</math> 로 표기한다. 만약 집합 ''A''와 ''B''의 원소가 동일하다면 ''A''와 ''B''는 같다고 하고(공리적 집합론에서도 대부분 이를 공리로 받아들인다. 이를 [[확장 공리]]라 한다.), : <math>A=B</math> 로 표기한다. 만약 ''A''의 임의의 원소가 ''B''의 원소라면, ''A''는 ''B''의 부분집합(subset)이라고 하고, : <math>A\subseteq(\textrm{or }\subset) B</math> 로 표기한다. 집합 ''A''와 ''B''가 주어졌을 때, ''A''와 ''B''에 공통으로 속해 있는 원소를 모두 모은 집합을 ''A''와 ''B''의 [[교집합]](intersection)이라고 하며, ''A''∩''B''로 표기한다. 즉, : <math>A\cap B=\{x:x\in A\wedge x\in B \}</math> 한편, ''A'' 또는 ''B''에 포함되어 있는 원소를 모두 모은 집합을 ''A''와 ''B''의 합집합(union)이라 하며, ''A''∪''B''로 표기한다. 즉, : <math>A\cup B=\{x: x\in A \vee x\in B \}</math> ''A''에 포함되어 있는 원소들 중에 ''B''의 원소가 아닌 것들을 모두 모은 집합을 ''A''에 대한 ''B''의 [[차집합]]이라 하고, <math>A\setminus B</math>로 나타낸다. 즉, : <math>A\setminus B=\{x:x\in A\wedge \neg x\in B\}.</math> === 기본연산 === * [[교환법칙]] : <math>A\cap B=B\cap A</math> : <math>A\cup B=B\cup A</math> * [[결합법칙]] : <math>(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)</math> : <math>(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)</math> * [[분배법칙]] : <math>A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)</math> : <math>A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)</math> * [[드 모르간의 법칙]] : <math>C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B)</math> : <math>C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B)</math> === 역설 === [[파일:barber.jpg|섬네일|이발사: 나는 스스로 이발하지 않는 사람의 머리만 깎아줄 거야. 그런데 내 머리는...?]] 왜 이론 앞에 모자랄 정도로 순진해 빠졌다(naive)라는 단어가 붙었는지 궁금할 것이다. {{ㅊ|칸토어는 왜 비참하게 죽었을까?}} 매우 직관적이고 자연스러우며 '완벽'해보이는 집합의 개념과 논리체계를 자세히 살펴보면 사실 허점 투성이라는 것, 그리고 심지어 그 헛점을 매우려는 노력 자체가 이루어지기 어렵다는 것이 20세기 초에 걸쳐서 밝혀졌다. 이는 주로 자기자신을 대상으로 가리키는 논리를 생각해볼 때 나타나는 문제점들이다. 그 중 대표적인 예로 [[러셀의 역설]]이 있다. 집합 <math>R</math>를 자기 자신을 포함하지 않는 집합의 모임으로 정의하자. 즉, : <math>R=\{x: x\not\in x\}</math> 이다. 그러면 <math>R</math>는 <math>R</math>의 원소일까? <math>R\in R</math>라고 가정하자. 그러면 <math>R</math>의 정의에 의해 <math>R\not\in R</math>이므로 모순이다. 만약 <math>R\not\in R</math>이면 <math>R\in R</math>이므로 모순이다. 왜 이런 모순이 생겨났을까-하고 보아 하니, 원래 <math>R</math>이란 건 집합으로서 존재하면 안 됐던 것이다. 즉 ''자신을 포함하지 않는 집합의 모임''은 '''집합이 아니다'''. {{ㅊ|칸토르가 집합이라는데요?}} 또한 모든 집합의 모임과 같은 것도 집합이 아님을 쉽게 보일 수 있다. 즉, ''너무 커서 집합이 아닌 것''을 집합으로 취급하니 모순이 생긴 것이므로, 그를 방지하기 위하여 ''무엇이 집합인가''를 정의하는 [[공리적 집합론]]이 탄생하게 된다. === 공리적 집합론 === 자주 쓰이는 집합론의 공리계로는 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]([[선택 공리]](AC)의 포함 여부에 따라 [[ZF]], [[ZFC]]로 나뉜다.)과 [[폰 노이만-버나이즈-괴델 집합론]]이 있다. 이 둘의 결정적인 차이는, 무엇을 [[무정의 용어|무정의]]로 하느냐이다. [[ZF]]의 경우에는 집합을, [[NBG]]의 경우에는 [[모임 (수학)|모임]](class)을 무정의로 한다. 물론 이 공리계들에는 러셀의 역설을 막을 공리들이 있다. 예를 들면 ZF에서는 [[정칙성 공리]]와 [[분류 공리꼴]]이 러셀의 역설을 막는다. == 표현 == 집합을 표현하는 방법에는 여러 가지가 있지만, 이 문서에서는 세 가지만 소개하기로 한다. 먼저 집합을 논리식을 이용하여 표현하는 방법인 '''조건제시법'''이 있다: :<math>A=\{x:p\}.</math> 또, (모든 원소를 표현할 수 있을 때,) 원소로써 그 집합을 나타내는 '''원소나열법'''이 있다: :<math>A=\{a_1, a_2, \cdots, a_n, \cdots \}.</math> 식이 아닌 다른 방법으로도 집합을 나타낼 수 있다. 가장 대표적인 방법이 [[벤 다이어그램]]. == 집합의 확장 == * [[Multiset]] * [[퍼지 집합]] {{주석}} [[분류:집합론]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:ㅊ (원본 보기) (준보호됨)틀:각주 (원본 보기) (준보호됨)틀:주석 (편집) 틀:취소선 (원본 보기) (준보호됨)