집합론

틀:학술 관련 정보 아래는 학부생이 작성한 내용이라 빈약하다. 많은 내용을 추가바람~~집합론 전공이 몇 명인진 모르겠지만~~

소개

제목에서 나오듯 집합과 집합에 관련된 것들을 다루는 학문이다.

개요

아래 나오는 내용은 A Transition to Advanced Mathematics(Douglas Smith, Maurice Eggen, Richard St. Andre 저)에서 상당수를 참조했다.

논리와 증명

대부분의 집합이 조건제시법으로 서술되므로, 조건에 부합하는지 아닌지를 아는 것이 매우 당연하며 중요하다. 명제논리와 술어논리, 참과 거짓을 판단하는 방법을 배우며, 기초적인 기호들을 익힌다.

여기서 간략하게나마 논리에 쓰이는 기호들을 설명하면, [math]\displaystyle{ \forall x }[/math] : 모든 x, [math]\displaystyle{ \exists x }[/math] : x가 존재한다., [math]\displaystyle{ \exists !x }[/math] : x가 유일하게 존재한다. [math]\displaystyle{ \neg P }[/math] : P의 부정(~P라고 쓰기도 한다.), [math]\displaystyle{ p\lor q }[/math] : p또는 q, [math]\displaystyle{ p\land q }[/math] : p 그리고 q 등이 있다.

집합론

집합간의 연산(교집합이나, 합집합 같은 것들), 첨수족(indexed families of sets)^[1] 자연수 등 집합 자체의 전반적인 것을 다룬다.~~그리고 공집합에서 뭘 뽑아다 썼더니 전체집합이라는 것에서 다들 정신이 날아가겠지.~~^[2]

관계

직관적으로 말하면 함수보다 더 일반화된 개념이다. 예를 들어, (한국, 홍길동), (한국, 김철수), (미국, Bob), (미국, John)같은 것은 각 나라에 대해 거주민을 대응시키는 것으로 볼 수 있다. 이런 것들을 관계라고 한다. 관계를 정의한 후 더 쓸모있는 관계들을 만든다.

대표적인 것들을 몇 개 추려보자면,

동치관계
- 반사성, 대칭성, 추이성을 만족하는 관계다. [math]\displaystyle{ a=a }[/math](반사성), [math]\displaystyle{ a=b\rightarrow b=a }[/math](대칭성), [math]\displaystyle{ a=b\ 그리고\ a=c\rightarrow\ a=c }[/math](추이성) 등호를 생각하면 쉽게 외워진다.
순서관계
- 반사성, 반대칭성, 추이성을 만족하는 관계다. [math]\displaystyle{ a\le a }[/math](반사성), [math]\displaystyle{ a\le b,\ 그리고\ b\le a \rightarrow a=b }[/math](반대칭성), [math]\displaystyle{ a\le b\ 그리고\ b\le c\rightarrow a\le c }[/math](추이성) 부등호를 생각하면 쉽게 외워진다.

등이 있다.

함수

함수는 관계의 특별한 종류 중 하나다. 함수가 갖는 큰 특징은 관계는 정의역에 대응하는 치역이 여러 개일 수 있지만, (위의 예에 있는 (한국, 홍길동), (한국, 김철수)처럼) 함수는 정의역의 각 원소에 대해 절대 두 개 이상이 대응되지 않는다.

즉, 우리가 잘 아는 그 함수가 되어 좋은 성질들을 가지게 된다.

농도(cardinality)

집합의 크기라고도 한다. 농도는 직관적으로 집합이 얼마나 많은 원소를 가지고 있는지를 보여주는 척도다. 집합 [math]\displaystyle{ A }[/math]의 농도는 절대값 표기와 같이 [math]\displaystyle{ |A| }[/math]로 표기한다. 절대값과 표기가 똑같아서 종종 [math]\displaystyle{ card(A) }[/math]...등등의 다른 표현을 사용해 혼동을 피하기도 한다.

집합 [math]\displaystyle{ A }[/math]가 집합 [math]\displaystyle{ B }[/math]보다 농도가 크다는 얘기를 할 수 있다. 농도가 곧 원소가 얼마나 많은가라서 집합 [math]\displaystyle{ A }[/math]와 집합 [math]\displaystyle{ B }[/math]의 원소를 짝지었더니 [math]\displaystyle{ A }[/math]쪽 원소가 남으면 [math]\displaystyle{ A }[/math]의 농도가 작지 않다. 원소를 비교하는 것은 함수를 통해 할 수 있다. 그래서 단사함수 [math]\displaystyle{ f : A \rightarrow B }[/math]가 존재하면 [math]\displaystyle{ |A| \leq |B| }[/math]라고 정의한다. 선택공리를 받아들인다면, 두 집합의 농도를 항상 비교할 수 있다. 두 집합 [math]\displaystyle{ A, B }[/math]에 대해, [math]\displaystyle{ |A|\lt |B|, |A|=|B|, |A|\gt |B| }[/math]중 하나를 만족한다.

유한집합, 무한집합

무한집합의 예로 자연수 집합을 들 수 있다. 자연수에서 자연수로 가는 함수 중에서, [math]\displaystyle{ f(n) = n+1 }[/math]를 생각해 보자. 이 함수는 단사인데, 이 함수의 상(image)는 2 이상의 자연수로, 자연수의 진부분집합이다. 또 다른 예는 [math]\displaystyle{ f(n) = 2*n }[/math]. 이 함수의 상은 짝수인 자연수이다. 이로부터 무한집합을 정의할 만한 아이디어를 얻을 수 있다.

어떤 집합 [math]\displaystyle{ X }[/math]가 어떤 진부분집합 [math]\displaystyle{ Y }[/math]과 일대일 함수가 존재하면 [math]\displaystyle{ X }[/math]는 무한이라고 한다. 자연수집합은 무한집합이 된다.

가산집합, 비가산집합

가산집합은 말 그대로 셀 수 있으면 가산집합이다. 하나, 둘... 하고 모든 원소를 셀 수 있으면 된다. 만약 세다가 더이상 셀 원소가 없다면 유한집합이고, 멈추지 않고 계속 세야 한다면, 가산무한집합이 된다.

제대로 된 정의는, 어떤 집합 [math]\displaystyle{ X }[/math]에서 자연수 [math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math]로의 단사함수가 존재하면 가산집합이라 하고, 그렇지 않으면 비가산집합이다. 당연히 유한집합은 가산집합이다.

특히 앞의 논리에 의해 어떤 집합[math]\displaystyle{ X }[/math]은 [math]\displaystyle{ X\lt |\mathbb{N}| }[/math]이거나 [math]\displaystyle{ X=|\mathbb{N}| }[/math]이거나 [math]\displaystyle{ X\gt |\mathbb{N}| }[/math]인데 이런 집합을 차례대로, 유한집합, 가산무한집합, 비가산집합이다.

자연수, 정수, 유리수 집합은 가산집합인 반면, 실수집합은 불가산집합이다. 실수집합이 불가산집합인 것은 칸토어의 대각선 논법에 의해 보일 수 있다. 또한 이 대각선 논법을 이용하면 어떤 집합의 멱급수의 농도는 그 집합의 농도보다 항상 크다는 것도 보일 수 있다.

연속체 가설

응용

추가바람

같이 읽을 거리

이 외에도 추가바람

각주

↑ 아래 첨자를 달아서 쓰는 집합들을 모아놓은 집합인데([math]\displaystyle{ X=\left\{ A_{\alpha} | \alpha \in S \right \} }[/math]) 직관적으로는 집합들에 번호를부여한 것으로 보면 된다. 단, 번호를 부여했다해서, S가 자연수보다 작거나 자연수 정도로 생각할 수 있는데, S는 모든 집합에 대해서 다 가능하다.
↑ [math]\displaystyle{ \bigcap_{\alpha \in \emptyset} A_{\alpha} = U }[/math]를 말하는 것인데, 증명은 다음과 같다. [math]\displaystyle{ \bigcap_{\alpha \in \emptyset} A_{\alpha} = U \iff ( x\in U \rightarrow 모든\ \alpha\ 에\ 대해서\ x\in A_{\alpha \in \emptyset} ) \iff ( x\in U \rightarrow ( \alpha \in \emptyset \rightarrow x\in A_{\alpha} ) ) }[/math]인데, [math]\displaystyle{ \alpha \in \emptyset }[/math]가 항상 거짓이기 때문에 [math]\displaystyle{ \alpha \in \emptyset \rightarrow x\in A_{\alpha} }[/math]는 항상 참이다. 따라서 (참)[math]\displaystyle{ \rightarrow }[/math](참) 이므로, 항상 참이다.

[1] 아래 첨자를 달아서 쓰는 집합들을 모아놓은 집합인데([math]\displaystyle{ X=\left\{ A_{\alpha} | \alpha \in S \right \} }[/math]) 직관적으로는 집합들에 번호를부여한 것으로 보면 된다. 단, 번호를 부여했다해서, S가 자연수보다 작거나 자연수 정도로 생각할 수 있는데, S는 모든 집합에 대해서 다 가능하다.

[2] [math]\displaystyle{ \bigcap_{\alpha \in \emptyset} A_{\alpha} = U }[/math]를 말하는 것인데, 증명은 다음과 같다. [math]\displaystyle{ \bigcap_{\alpha \in \emptyset} A_{\alpha} = U \iff ( x\in U \rightarrow 모든\ \alpha\ 에\ 대해서\ x\in A_{\alpha \in \emptyset} ) \iff ( x\in U \rightarrow ( \alpha \in \emptyset \rightarrow x\in A_{\alpha} ) ) }[/math]인데, [math]\displaystyle{ \alpha \in \emptyset }[/math]가 항상 거짓이기 때문에 [math]\displaystyle{ \alpha \in \emptyset \rightarrow x\in A_{\alpha} }[/math]는 항상 참이다. 따라서 (참)[math]\displaystyle{ \rightarrow }[/math](참) 이므로, 항상 참이다.

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