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| [[분류:좌표]] | | [[분류:좌표계]] |
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| [[직교좌표계]]란 n차원 공간에서의 물체의 위치를 서로 직교하는 n개의 축으로 나타내는 기법을 의미한다. | | [[직교좌표계]]란 n차원 공간에서의 물체의 위치를 서로 직교하는 n개의 축으로 나타내는 기법을 의미한다. |
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| == 직교좌표계와 [[벡터]]에 대한 설명 == | | == 왜 하필 "직교하는" n개의 축으로 물체의 위치를 표시하는지에 대한 논변 == |
| * 아래의 내용은, 직교좌표계가 왜 하필이면 '''직교하는''' 여러 개의 축으로 물체의 위치를 나타내는지에 대한 설명이다.
| | 일직선상에서는 원점에서의 방향(왼쪽, 오른쪽)과 거리만 언급해 주면 되니, 이 문제를 고민할 필요가 없어 보인다. 그렇다면 일직선만으로 점의 위치를 전부 표시할 수 없는 공간 중 가장 간단한 공간인 평면을 생각해 보도록 한다. |
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| 크기와 방향을 모두 가진 양을 벡터라고 부른다고 했다. 하지만 매번 방향을 언급하기는 불편하며, 기준 방향이 주어져 있다고 해도 '크기와 방향'만으로 벡터를 연산하려면 삼각함수의 여러 법칙들을 사용해야 한다.
| | 여기서 필자는 여러분들의 [[직관]]에 호소하도록 하겠다. 평면 위에 임의의 직선을 그은 뒤 그 직선을 [[철도|레일]] 삼아 장난감 [[기차]]가 놓여져 있다고 생각해 보자. 이 기차는 절대로 탈선하지 않는다. 이 기차에 [[벡터]]의 일종인 [[힘]]을 아무 방향에서나 가해 보도록 하자. 어느 방향에서 힘을 가하면 기차가 안 움직일까? 레일에서 직각인 방향에서 힘을 가하면 기차가 움직이지 않을 것이다. 그리고 레일에 평행하지 않은 방향에서 힘을 가하면, [[정사영|그 힘의 레일에서 평행한 방향의 성분만큼의 크기의 힘을 레일에서 평행한 방향으로 가한 것과 똑같이]] 기차가 움직일 것이다. 이를 생각해 보면, 이 장난감 기차에 가한 임의의 힘은 레일의 방향으로 작용하는 힘과 레일에 수직한 방향으로 작용하는 힘 두 가지로 분해해서 생각해 볼 수 있을 것 같다. |
| 그렇다면 벡터를 더 편리하게 언급할 방법이 있을지 한 번 알아보자. 어떤 문제를 탐구할 때 답을 쉽게 알 수 없는 경우엔, 그 문제의 가장 간단한 경우에서 시작해서 점점 복잡한 경우로 넘어오는 것이 도움이 된다.
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| 일직선상에서는 원점에서의 방향(왼쪽, 오른쪽)과 거리만 언급해 주면 되니 이 문제를 고민할 필요가 없어 보인다. 그렇다면 일직선만으로 점의 위치를 전부 표시할 수 없는 공간 중 가장 간단한 공간인 평면을 생각해 보도록 한다.
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| 여기서 필자는 여러분들의 직관에 호소하도록 하겠다. 평면 위에 임의의 직선을 그은 뒤 그 직선을 레일 삼아 장난감 기차가 놓여져 있다고 생각해 보자. 이 기차는 절대로 탈선하지 않는다. 이 기차에 벡터의 일종인 '힘'을 아무 방향에서나 가해 보도록 하자. ('힘'이 무엇인지는 다음 단원에서 제대로 정의할 것이다. 일단은 직관적인 의미로 언급했다) 어느 방향에서 힘을 가하면 기차가 안 움직일까? 레일에서 직각인 방향에서 힘을 가하면 기차가 움직이지 않을 것이다. 그리고 레일에 평행하지 않은 방향에서 힘을 가하면, 그 힘의 레일에서 평행한 방향의 성분만큼의 크기의 힘을 레일에서 평행한 방향으로 가한 것과 똑같이 기차가 움직일 것이다. 이를 생각해 보면, 이 장난감 기차에 가한 임의의 힘은 레일의 방향으로 작용하는 힘과 레일에 수직한 방향으로 작용하는 힘 두 가지로 분해해서 생각해 볼 수 있을 것 같다. | |
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| 이를 일반화하면, 임의의 벡터는 일정한 방향으로 향하는 성분과 그 방향에 수직한 방향으로 작용하는 성분으로 분해해서 생각하면 좋다는 생각이 든다. 물론 이는 벡터를 분해하는 방법 중 극히 일부일 뿐이지만, 위의 장난감 기차의 예시를 볼 때, 한 벡터를 임의의 방향과, 그에 수직한 방향으로 분해하는 것이 일반적인 경우에선 가장 직관적임을 알 수 있을 것이다. 그렇다면, 서로 직교하는 두 좌표축을 설정하면 한 평면 안의 모든 점을 손쉽게 표기할 수 있다는 말이 된다. 이 두 좌표축은 첫번째 좌표축의 +방향과 두 번째 좌표축의 +방향이 반시계 방향을 이루도록 배치하는 것이 관례이다.
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| 3차원 공간에서는, 이저느이 두 좌표축 모두에 직교하는 3번째 좌표축을 원점<ref>좌표축이 여럿이 존재할 경우에는 이들을 모두 한 점에서 만나게 하고 그들의 교점을 원점으로 잡는 것이 합리적임은 굳이 설명할 필요가 없을 것이다.</ref>을 관통하도록 설정해 주면 된다. 이 3번째 좌표축은, 첫번째 좌표축의 +방향과 두번째 좌표축의 +방향을 순서대로 지나도록 오른손을 말아쥐었을 때 엄지가 향하는 방향으로 잡는 것이 관례이다.
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| 이렇게 우리는 공간을 '좌표계'로 나타내는 방법을 배웠다. 그리고 이 체계에서는 벡터를 아주 편리하게 나타낼 수 있다. 임의의 점으로 향하는 벡터를 각각의 좌표축에 평행하게 진행하는 성분들로 분해한 뒤, 그 각각의 성분들이 원점에서 어떠한 방향으로 떨어져 있는지만 언급하면 되는 것이다. 1차원 공간상의 벡터는 스칼라와 동치임을 앞에서 언급했으므로 우리는 벡터를 스칼라들의 나열로 나타낼 수 있게 된 것이다.
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| 벡터를 이렇게 표기하고 나면 벡터간의 덧뺄셈 A±B는, A(a1, a2, a3), B(b1, b2, b3)이라고 했을 때 A±B(a1 ± b1, a2 ± b2, a3 ± b3) 이라는 스칼라의 덧뺄셈으로 환원될 수 있다는 것은, 여러분들이 직접 생각해 보면 알 수 있을 것이다.
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| {{주석}}
| | 이 원리를 일반화해 보면, 직교좌표계가 왜 하필이면 '''직교하는''' n개의 축으로 물체의 위치와 벡터 등등을 나타내는지를 알 수 있을 것이다. |
직교좌표계란 n차원 공간에서의 물체의 위치를 서로 직교하는 n개의 축으로 나타내는 기법을 의미한다.
왜 하필 "직교하는" n개의 축으로 물체의 위치를 표시하는지에 대한 논변[편집 | 원본 편집]
일직선상에서는 원점에서의 방향(왼쪽, 오른쪽)과 거리만 언급해 주면 되니, 이 문제를 고민할 필요가 없어 보인다. 그렇다면 일직선만으로 점의 위치를 전부 표시할 수 없는 공간 중 가장 간단한 공간인 평면을 생각해 보도록 한다.
여기서 필자는 여러분들의 직관에 호소하도록 하겠다. 평면 위에 임의의 직선을 그은 뒤 그 직선을 레일 삼아 장난감 기차가 놓여져 있다고 생각해 보자. 이 기차는 절대로 탈선하지 않는다. 이 기차에 벡터의 일종인 힘을 아무 방향에서나 가해 보도록 하자. 어느 방향에서 힘을 가하면 기차가 안 움직일까? 레일에서 직각인 방향에서 힘을 가하면 기차가 움직이지 않을 것이다. 그리고 레일에 평행하지 않은 방향에서 힘을 가하면, 그 힘의 레일에서 평행한 방향의 성분만큼의 크기의 힘을 레일에서 평행한 방향으로 가한 것과 똑같이 기차가 움직일 것이다. 이를 생각해 보면, 이 장난감 기차에 가한 임의의 힘은 레일의 방향으로 작용하는 힘과 레일에 수직한 방향으로 작용하는 힘 두 가지로 분해해서 생각해 볼 수 있을 것 같다.
이 원리를 일반화해 보면, 직교좌표계가 왜 하필이면 직교하는 n개의 축으로 물체의 위치와 벡터 등등을 나타내는지를 알 수 있을 것이다.