경고 : 최신판이 아닙니다. 이 문서의 오래된 판을 편집하고 있습니다. 이것을 저장하면, 이 판 이후로 바뀐 모든 편집이 사라집니다. 로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요!{{학술}} [[분류:산술]] Square root(가끔은 그냥 Root). == 개요 == 중학교 때 [[피타고라스 정리]]를 배우면서 처음 배우게 되는 개념. 수 <math>a</math>에 대해 제곱하여 <math>a</math>가 되는 수를 '''<math>a</math>의 제곱근(square root of <math>a</math>)'''이라고 하며, <math>\sqrt a</math>로 나타낸다. 말 그대로 제곱법에 대해 근이 되는 수이기 때문에(즉 방정식 <math>x^2 = a</math>의 근) '''‘제곱’ ‘근’'''이라 한다. <math>-\sqrt a</math>도 제곱하면 <math>a</math>가 되기 때문에 <math>a</math>의 제곱근은 <math>\pm\sqrt a</math>의 두 개가 된다. <math>a</math>가 '''양의 실수'''인 경우 두 제곱근 중에는 양수인 것과 음수인 것이 하나씩 있는데, 이 중 양수인 제곱근을 '''양의 제곱근''', 음수인 제곱근을 '''음의 제곱근'''이라 부르며, <math>\sqrt a</math>는 양의 제곱근만을 나타내는 것이 관례이다.<ref>즉 이 관례는 <math>a</math>가 음의 실수라거나, 허수인 경우에는 전혀 적용되지 않는다.</ref> <math>\sqrt\;</math>는 제곱근 기호 혹은 약하여 '''근호(root sign)'''라고 부르며, <math>\sqrt a</math>는 {{ㅊ|근호 <math>a</math>라고는 하지 않고}} '''루트(root) <math>a</math>''' 혹은 '''제곱근 <math>a</math>'''라고 한다. 즉 “<math>a</math>'''의''' 제곱근”이라고 하면 <math>\pm\sqrt a</math>의 두 개이지만, “제곱근 <math>a</math>”라고 하면 이때는 ‘제곱근’은 기호의 이름이기 때문에 <math>\sqrt a</math> 하나만을 가리키는 것이다. 함정 문제로 자주 나오는 유형이니 잘 알아 두자. 인류 최초로 발견된 제곱근은 <math>\sqrt2</math>이라고 한다. 피타고라스의 제자인 히파수스가 발견했다고 알려져 있으며, 이 수의 존재는 세상 모든 것이 [[자연수]]로 구성되어있다는 피타고라스 학파의 믿음에 정면으로 반하는 수이다. 이 때문에 히파수스는 암살을 당했다느니 자살을 했다느니 하는 설들이 존재하지만, 어느 쪽도 명백한 증거는 없다. 사실 히파수스가 <math>\sqrt2</math>를 정말로 발견했는지도 의문에 쌓여 있다. 어찌 되었건, 이 수의 존재로 인해 [[유리수]]가 아닌 수가 존재한다는 사실이 밝혀졌고, 현대에는 이러한 수를 [[무리수]]라 부른다. <math>\sqrt2</math>가 [[유리수]]가 아님을 보이는 증명은 여러가지가 있지만, 가장 잘 알려진 것은 [[귀류법]]과 [[서로소]]를 이용한 증명일 것이다. 혹은 자연수의 정렬성을 이용하는 증명도 있다. == 거듭제곱근 == 제곱근의 개념을 확장하여 거듭제곱근을 정의할 수 있다. 수 <math>a</math>에 대해 <math>n</math>제곱하여 <math>a</math>가 되는 수를 '''<math>a</math>의 <math>n</math>제곱근(<math>n</math>‐th root of <math>a</math>)'''이라고 하며, <math>\sqrt[n]{a}</math>로 나타낸다(단, <math>n</math>은 자연수). 물론 <math>n=2</math>일 경우에는 이제곱근이 아니라 제곱근이라 부르며, 숫자 2도 생략한다. 이는 어떤 수의 제곱을 이제곱이라고 하지 않는 것과 마찬가지이다. {{ㅊ|물론 제곱에서 숫자 2를 생략하면 안 된다.}}<ref>{{ㅊ|Characteristic이 2이면 생략해도 된다.}}</ref> <math>a</math>가 '''양의 실수'''이고 <math>n</math>이 짝수인 경우 거듭제곱근 중에는 양수인 것과 음수인 것이 하나씩 있다. 양수인 것이 존재함은 다음 절에서 증명할 것이고, 음수인 것이 존재함은 이번에도 <math>-\sqrt[n]{a}</math>도 <math>n</math>제곱하면 <math>a</math>가 되기 때문이다. 어쨌든, 이때에도 <math>\sqrt[n]{a}</math>는 양수인 것만을 나타내는 것이 관례이다.<ref>이때는 양의 거듭제곱근, 음의 거듭제곱근과 같은 표현은 잘 쓰지 않는 듯하다.</ref> == [[존재성과 유일성]] == 심각한 수학책에서는 언제나 정의 바로 다음에 [[존재성과 유일성]]이 등장하나, 중고등학교 때에도 배우는 개념임을 감안하여 여기서 증명한다. 지금 증명할 명제는 아래 명제이다. <math>a</math>가 '''양의 실수'''이면, 자연수 <math>n \geq 2</math>에 대해 <math>a</math>의 <math>n</math>제곱근이 '''양의 실수''' 중에 유일하게 존재한다. * 존재성 *: 완비성 공리(공집합이 아닌 실수의 부분집합이 위로 유계이면, 최소상계가 존재한다)를 이용한다. *: 실수의 부분집합 <math>A=\left\{x|x\geq0,x^n < a\right\}</math>를 생각한다. *:: [공집합이 아님] <math>0^n=0 < a</math>이므로 <math>0\in A</math>이고, <math>A</math>는 공집합이 아니다. *:: [위로 유계] <math>\max\left\{a,1\right\}</math>가 상계임을 보인다. 대우명제를 증명하는 것이 간편한데, <math>x > \max\left\{a,1\right\}</math>라고 가정하면 <math>x > a \;\mbox{and}\; x > 1</math>이므로 <math>x^{n-1} > 1</math>이고 <math>x^n > x > a</math>가 되어 원하는 결과를 얻는다. *: 따라서 최소상계 <math>\sup A=s</math>가 존재한다. *: 이제 <math>s^n=a</math>임을 보이면 된다. *:: 만약 <math>s^n \lt a</math>라고 가정하고 <math>k = \frac{\sum_{j=1}^{n} {n \choose j} s^{n-j}}{a - s^n}+1</math>라고 하자. <div class="mw-collapsible mw-collapsed">그러면, <math>s+\frac{1}{k} \in A</math>임을 보일 수 있다.<div class="mw-collapsible-content"><math>\frac{\sum_{j=1}^{n} {n \choose j} s^{n-j}}{a - s^n} \lt k</math>이므로 <math>\frac{\sum_{j=1}^{n} {n \choose j} s^{n-j}}{k} \lt a - s^n</math>이다. 또한 <math>1 \le k</math>이므로 <math>\frac{1}{k} \le 1</math>이다. <br /><math>\begin{align} \left( s+\frac{1}{k} \right)^n&= \sum_{j=0}^{n} {n \choose j}\frac{s^{n-j}}{k^j}\\&=s^n + \frac{1}{k}\sum_{j=1}^{n}{n \choose j} \frac{s^{n-j}}{k^{j-1}}\\&\le s^n + \frac{1}{k} \sum_{j=1}^{n} {n \choose j} s^{n-j} \lt s^n + (a-s^n) = a\end{align}</math>가 되어, <math>s + \frac{1}{k}</math>가 <math>A</math>에 포함된다.</div></div> 이것은 최소상계가 \(A\)의 원소보다 작아지므로 <math>\sup A=s</math>라는 것에 모순이다. *:: 만약<math>s^n \gt a</math>라고 가정하고 <math>k = \max \left\{ \frac{1}{s} , \frac{ns^{n-1}}{s^n-a} \right\}+1</math>이라 하자. <math>\frac{1}{s} \lt k</math>이기 때문에 <math>s-\frac{1}{k}</math>는 양수이다.<div class="mw-collapsible mw-collapsed">그러면, <math>s-\frac{1}{k}</math> 가 \(A\)의 상계임을 보일 수 있다.<div class="mw-collapsible-content"><math>-\frac{1}{sk} \gt -1</math>이므로 [[베르누이 부등식]]에 의해 <math>\left( s-\frac{1}{k} \right)^n = \left( 1-\frac{1}{sk} \right)^n s^n \ge \left( 1 - \frac{n}{sk} \right) s^n = s^n - \frac{ns^{n-1}}{k}</math>이다. <math>\frac{ns^{n-1}}{s^n-a} \lt k</math>이므로 <math>s^n - \frac{ns^{n-1}}{k} \gt s^n - (s^n - a) = a</math>이다. 둘을 합치면, 모든 \(A\)의 원소 \(x\)에 대해 <math>\left( s-\frac{1}{k} \right)^n \gt a \gt x^n</math>이 되어 <math> s-\frac{1}{k}</math>가 \(A\)의 상계이다.</div></div> 최소상계보다 더 작은 상계가 있기 때문에 <math>\sup A = s</math>에 모순이다. *:: 따라서 <math>s^n \gt a</math>도 <math>s^n \lt a</math>도 될 수 없으므로, <math>s^n = a</math>이다. * 유일성 *: 함수 <math>y=x^n</math>이 양의 실수에서 증가함수임을 이용하면 매우 쉽다. *: 즉, <math>x < \sqrt[n]{a}</math>이면 <math>x^n < a</math>이고, <math>x > \sqrt[n]{a}</math>이면 <math>x^n > a</math>이므로 유일하다. 근데 여기서 문제가 하나 생기는데, 예를 들어 <math>\sqrt2</math>가 유일하게 존재한다는 것은 알아도, 그 수가 어떤 모양인지는 모른다는 것이다. 물론 계산기를 두들기면 <math>\sqrt2=1.414\cdots</math>라고 뭔가 던져주지만, 이 ‘…’ 부분을 정확히 묘사하지 못하는 한 이는 근삿값에 지나지 않고, 이러한 수를 수학적으로 표현하는 것은 또 다른 문제이다. 이 수를 직접적으로 묘사하는 매우 유용한 표현이 바로 중학교 때 배운 무한소수 표현이며, 이 무한소수는 사실 '''무한급수'''이다. 예를 들면, <math>\sqrt2=1.414\cdots</math>는 사실 수열 <math>\left\{x_n\right\}=\left\{1,\,1.4,\,1.41,\,1.414,\,\cdots\right\}</math>의 수렴값을 나타내는 표현이다. 참고로 저 수열은 위로 유계이고, 단조 증가이기 때문에 반드시 수렴함이 알려져 있다. 이로써 우리는 어떤 수의 (거듭)제곱근이 어느 정도 크기의 수인지 가늠할 수 있게 되었다. == 복소수의 (거듭)제곱근 == 한국의 수학 교육과정에선 가르치진 않지만, 복소수의 (거듭)제곱근도 존재한다. 정의는 똑같다 (앞서 (거듭)제곱근을 정의할 때 ‘수’라고만 하고 다른 어떠한 제한도 가하지 않았다). 복소수의 (거듭)제곱근을 공부할 때, [[복소평면]], [[오일러의 정리]], [[드 무아브르의 공식]]을 잘 알고 있다면 많은 도움이 된다. * [[존재성과 유일성]] *: 일반적으로 어떤 복소수의 <math>n</math>제곱근은 복소수 범위에서 <math>n</math>개가 존재한다. [[대수학의 기본 정리]]를 쓰면 금방 알 수 있고, 아래 실제 찾는 방법으로도 증명을 갈음할 수 있다. * 실제로 찾는 방법 ** (거듭)제곱근 하나를 찾는 방법 **: (거듭)제곱근을 하나만 찾으면 나머지는 금방 찾을 수 있다. <math>n</math>제곱근을 구하려는 복소수를 극형식으로 <math>\alpha = Ae^{i\theta}</math>와 같이 나타내면, <math>z = \sqrt[n]{A}e^{i\tfrac{\theta}{n}}</math>이 원하는 <math>n</math>제곱근이 된다. 이때 <math>\sqrt[n]{A}</math> 부분은 전술한 양의 실수에서의 거듭제곱근을 찾는 방법을 따른다. ** 나머지 (거듭)제곱근을 찾는 방법 **: 1의 <math>n</math>제곱근(<math>n</math>‐th roots of unity)를 이용한다. 즉, 예를 들어 <math>e^{i\tfrac{2\pi}{n}} = \cos\tfrac{2\pi}{n} + i \sin\tfrac{2\pi}{n}</math>를 <math>\zeta_n</math>로 놓으면 <math>\zeta_n^n = 1</math>이므로, <math>\alpha</math>의 한 <math>n</math>제곱근 <math>z = \sqrt[n]{A}e^{i\tfrac{\theta}{n}}</math>에 대해 <math>z\zeta_n = \sqrt[n]{A}e^{i\tfrac{\theta}{n}} e^{i\tfrac{2\pi}{n}} = \sqrt[n]{A}e^{i\tfrac{\theta+2\pi}{n}}</math> 역시 <math>\alpha</math>의 <math>n</math>제곱근이 된다(<math>\left( z\zeta_n \right)^n = z^n \zeta_n^n = \alpha \cdot 1 = \alpha</math>). **: 마찬가지로 생각하면 <math>\alpha</math>의 한 <math>n</math>제곱근을 <math>z</math>라 하면 다음 <math>n</math>개의 복소수 **::: <math>z,\; z\zeta_n,\; \cdots,\; z\zeta_n^{n-1}</math> **: 가 <math>\alpha</math>의 <math>n</math>제곱근임을 알 수 있고, 극형식으로 나타내면 <math>z = \sqrt[n]{A}e^{i\tfrac{\theta}{n}}</math>에 대해 **::: <math>\sqrt[n]{A}e^{i\tfrac{\theta}{n}},\, \sqrt[n]{A}e^{i\tfrac{\theta+2\pi}{n}},\, \cdots,\, \sqrt[n]{A}e^{i\tfrac{\theta+2\left(n-1\right)\pi}{n}}</math> **: 와 같이 됨을 알 수 있다. == 근삿값 == 제곱근의 근삿값을 구하는 방법은 여러가지가 알려져 있다. 이 중 몇 가지를 소개한다. #{{ㅊ|노가다}} #개평법: 나눗셈과 비슷한 방법으로 구하며, 각 자리를 정확하게 구할 수 있지만, 효율이 매우 떨어진다. 자세한 것은 [[Wikipedia:Methods_of_computing_square_roots#Digit-by-digit_calculation|여기]]를 참조. #바빌로니아 법: 구하고자 하는 제곱근 값으로 수렴하는 수열을 만들어 근사값을 구한다. 개평법과는 달리 횟수가 적으면 정확도가 떨어지지만, 효율면에선 이쪽이 더 좋다. 자세한 것은 [[위키백과:제곱근#제곱근의 계산|여기]]를 참조. {{주석}} 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:ㅊ (원본 보기) (준보호됨)틀:각주 (원본 보기) (준보호됨)틀:취소선 (원본 보기) (준보호됨)