정육면체

정육면체 모형

정육면체(Cube, 正六面體)는 정사각형 여섯 개로 둘러쌓인 입체도형이다. 면의 크기, 모서리의 길이, 꼭짓점의 연결상태 모두 같은 다섯 종류의 정다면체 중 하나이다.

특징

• 정다면체 중 유일하게 한 면이 정사각형이다. 또한 한 꼭짓점에 세 개의 모서리가 만난다.
• 꼭짓점, 모서리, 면의 갯수는 각각 8개, 12개, 6개이다.
• 정팔면체와 쌍대관계이다. 즉, 정육면체의 면의 중심을 꼭짓점으로 삼아서 모서리로 인접한 면끼리 꼭짓점으로 연결하면 정팔면체가 생성된다.
• 회전대칭군은 [math]\displaystyle{ O \simeq S_4 }[/math], 거울대칭군은 [math]\displaystyle{ O_h \simeq S_4 \times \mathbb{Z}_2 }[/math]이다. 정팔면체와 동일하다.
• 슐래플리 기호(Schläfli symbol)로는 {4,3}으로 나타난다.
• 정다면체 중 단독으로 3차원 공간을 채울 수 있는 도형이다.
• 평행육면체, 사각기둥의 특수한 경우이며, 모서리의 길이가 모두 같은 직육면체이다.

공식

하나의 모서리의 길이가 a일 때 공식은 다음과 같다.

• 부피 : [math]\displaystyle{ a^3 }[/math]
• 겉넓이 : [math]\displaystyle{ 6a^2 }[/math]
• 외접/내접하는 구의 반지름 : [math]\displaystyle{ {\frac{\sqrt{3}}{2}} a , \frac{a}{2} }[/math]

정다면체의 순환

• 정십이면체의 면의 대각선을 연결해서 정육면체를 만들 수 있다.
• 정육면체이 면의 대각선을 연결해서 정사면체를 만들 수 있다.

전개도

정육면체 전개도

정육면체의 전개도는 모두 11종류가 있다. 정팔면체의 전개도의 갯수와 동일하다.