로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.중간의 다른 편집과 충돌하여 이 편집을 되돌릴 수 없습니다. 스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요!'''정다면체'''(正多面體, Regular polyhedron)는 [[도형]]을 구성하는 면이 모두 [[정다각형]]이고 합동인 [[다면체]]다. '''플라톤의 입체'''(Platonic solid)라고도 한다. 정다면체는 다음과 같은 성질을 가진다. * 각 면을 둘러싸고 있는 모서리의 개수가 같다. * 다면체에서 면을 하나 제거한 후 임의로 조작하면 [[평면그래프]]를 얻을 수 있다. 그러면 그 그래프의 면은 원래 다면체의 면의 수와 동일하다. * 꼭짓점과 연결된 변의 개수는 동일하다. 그래프로 간주하면, 각 꼭짓점의 차수는 모두 같다. == 종류 == 사실 정다면체는 다섯 가지밖에 없다. 입체가 되기 위해서는 한 꼭짓점에 도형이 3개 이상 모여야 하고<ref>3차원 공간이 3개의 축으로 이루어져 있기 때문이다.</ref>그 꼭짓점에서 각도의 합이 360도 보다 작아야 하는데, 정육각형 이상부터는 이게 불가능하고, 정삼각형, 정사각형, 정오각형만이 정다면체를 만들 수 있다. 꼭짓점에서 각도의 합이 360도 미만인 경우는 정삼각형이 3개부터 5개<ref>각각 정사면체, 정팔면체, 정이십면체</ref>까지 세 가지, 정사각형과 정오각형은 각각 3개<ref>각각 정육면체, 정십이면체</ref>까지만 모일 수 있어 총 5개가 된다. {| class="wikitable" style="background:white;" width="100%" ! 3차원 이미지 ! 그래프 이미지 ! 이름 ! 면의 모양 ! 꼭짓점의 수 ! 모서리의 수 ! 면의 수 ! 꼭짓점의 차수 |- style="text-align:center;" | [[파일:tetrahedron.svg|100px]] | [[파일:Schlegeldiagramm des Tetraeders.svg|100px]] |정사면체 | 삼각형 | 4 | 6 | 4 | 3 |- style="text-align:center;" | [[파일:hexahedron.svg|100px]] | [[파일:Cube graph.png|100px]] |정육면체 | 사각형 | 8 | 12 | 6 | 3 |- style="text-align:center;" | [[파일:octahedron.svg|100px]] | [[파일:Octahedron graph.png|100px]] |정팔면체 | 삼각형 | 6 | 12 | 8 | 4 |- style="text-align:center;" | [[파일:dodecahedron.svg|100px]] | [[파일:Graph of 20-fullerene w-nodes.svg|100px]] |정십이면체 | 오각형 | 20 | 30 | 12 | 3 |- style="text-align:center;" | [[파일:icosahedron.svg|100px]] | [[파일:Icosahedron graph.svg|100px]] |정이십면체 | 삼각형 | 12 | 30 | 20 | 5 |} 정다면체는 평면그래프이므로, 정다면체의 꼭짓점의 개수, 모서리의 개수, 면의 개수를 각각 <math>v,e,f</math>라 하면 <math>v-e+f=2</math>이다([[오일러의 정리]]). 한편 그래프의 꼭짓점의 차수를 ''d''라고 하면 모든 꼭짓점의 차수의 합이 모서리의 수의 두 배이므로 <math>vd=2e</math>이고 정다면체를 이루는 정다각형이 ''n''다각형이면 <math>nf=2e</math>이다. 식을 잘 조작하면 : <math>\frac{1}{d}+\frac{1}{n}=\frac{1}{e}+\frac{1}{2}</math> 을 얻는다. 한편 <math>n\ge 3, d\ge 3</math>이면서 동시에 <math>\frac{1}{d}+\frac{1}{n}> \frac{1}{2}</math>이어야 하므로 ''d''와 ''n'' 둘 모두 6보다 작다. * <math>n=3</math>일 때, <math>\frac{1}{d}-\frac{1}{e}=\frac{1}{6}</math>을 만족하는 (''d'',''e'')는 <math>(3,6),(4,12),(5,30)</math>이다. * <math>n=4</math>일 때, <math>\frac{1}{d}-\frac{1}{e}=\frac{1}{4}</math>을 만족하는 (''d'',''e'')는 <math>(3,12)</math>이다. * <math>n=5</math>일 때, <math>\frac{1}{d}-\frac{1}{e}=\frac{3}{10}</math>을 만족하는 (''d'',''e'')는 <math>(3,30)</math>이다. 각 해에서 면의 수를 구하면 4, 8, 20, 6, 12이다. == 정다면체의 확장 == 정다면체에서 만나는 다각형 조건을 별정다각형을 포함하고, 꼭짓점에서 별모양처럼 만나는 경우를 포함시키면 4개의 정다면체를 더 얻을 수 있다. 이 것을 [[케플러-푸앵소 다면체]]라고 부른다. == 같이 보기 == * [[정다포체]]: 4차원의 정다면체 {{주석}} [[분류:정다면체|*]] [[분류:그래프 이론]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:각주 (원본 보기) (준보호됨)틀:주석 (편집)