정규부분군: 두 판 사이의 차이

2019년 2월 3일 (일) 16:34 기준 최신판

정의[편집 | 원본 편집]

군 G의 부분군을 N이라고 하자. 임의의 [math]\displaystyle{ g\in G }[/math]에 대해

[math]\displaystyle{ gN=Ng }[/math]

면 N을 G의 정규부분군(Normal subgroup)이라 하고 [math]\displaystyle{ \require{AMSmath}\require{AMSsymbols}N\trianglelefteq G }[/math]로 표기한다. 이때 [math]\displaystyle{ gN,Ng }[/math]는 각각 N의 좌잉여류(left coset)와 우잉여류(right coset)를 나타낸다. 이 정의는 임의의 [math]\displaystyle{ n\in N }[/math]에 대해서 [math]\displaystyle{ gn=ng }[/math]임을 뜻하는 것이 절대 아니다!

다음 명제는 서로 동치이다.

N은 G의 정규부분군이다.
[math]\displaystyle{ g^{-1}Na=\{g^{-1}ng\vert n\in N\} }[/math]으로 정의하면, 임의의 [math]\displaystyle{ g\in G }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ a^{-1}Na\subseteq N }[/math]이다.
[math]\displaystyle{ gNg^{-1}=\{gng^{-1}\vert n\in N\} }[/math]으로 정의하면, 임의의 [math]\displaystyle{ g\in G }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ aNa^{-1}\subseteq N }[/math]이다.
임의의 [math]\displaystyle{ g\in G }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ g^{-1}Ng= N }[/math]이다.
임의의 [math]\displaystyle{ g\in G }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ gNg^{-1}= N }[/math]이다.

예시[편집 | 원본 편집]

아벨군의 경우에는 교환법칙이 성립하므로 모든 부분군이 정규부분군이다.
[math]\displaystyle{ \{e\} \trianglelefteq G, \; G \trianglelefteq G }[/math]. 만약 [math]\displaystyle{ G }[/math]의 정규부분군이 [math]\displaystyle{ \{e\} }[/math]와 [math]\displaystyle{ G }[/math]뿐이면 [math]\displaystyle{ G }[/math]를 단순군(simple group)이라 한다.
[math]\displaystyle{ \operatorname {SL}(V)\trianglelefteq\operatorname {GL}(V), \; \operatorname {SO}(n)\trianglelefteq\operatorname {O}(n), \; \operatorname {SU}(n)\trianglelefteq\operatorname {U}(n) }[/math]
[math]\displaystyle{ A_n \trianglelefteq S_n }[/math] ^[1]

성질[편집 | 원본 편집]

정규부분군의 정규부분군은 정규부분군이 아니다.^[2]
- 그러나, [math]\displaystyle{ N\le H\le G }[/math]이고 [math]\displaystyle{ N\trianglelefteq G }[/math]이면 [math]\displaystyle{ N\trianglelefteq H }[/math]이다.^[3]
정규부분군의 교집합은 정규부분군이다. 즉, N과 K가 G의 정규부분군이면, [math]\displaystyle{ N\cap K }[/math]는 G의 정규부분군이다.^[4]
N과 K가 G의 정규부분군이면, 집합 [math]\displaystyle{ NK=\{nk\vert n\in N \text{ and } k\in K\} }[/math]^[5]는 G의 정규부분군이다.
N이 지표(index)가 2^[6]인 G의 부분군이면, N은 G의 정규부분군이다.
함수 [math]\displaystyle{ f:G\to H }[/math]가 군 준동형사상이라고 하자. 그러면 f의 핵 [math]\displaystyle{ \ker f }[/math]는 G의 정규부분군이다.^[7]

같이 보기[편집 | 원본 편집]

아이디얼

각주

↑ n이 1보다 클 때에는 지표가 2이기 때문이다. 물론 ker sgn이기 때문이라고 이해해도 된다.
↑ 예를 들어 {(12)(34)}⊴V₄⊴A₄이지만 {(12)(34)}가 A₄의 정규부분군인 것은 아니다.
↑ 증명: 임의의 g∈G에 대해 gN=Ng이므로 임의의 g∈H에 대해서도 당연히 gN=Ng이다.
↑ 증명: 임의의 g∈G 및 x∈N∩K에 대해 gxg⁻¹를 생각하면, 이는 N이 정규부분군이므로 N에 속하고, K가 정규부분군이므로 K에도 속한다. 따라서 gxg⁻¹∈N∩K.
↑ 이와 달리 H와 K가 단순히 G의 부분군이기만 한 경우에는 집합 [math]\displaystyle{ HK=\{hk\vert h\in H \text{ and } k\in K\} }[/math]는 부분군조차 되지 못할 수도 있음에 유의하여야 한다.
↑ 좀 더 일반적으론, 지표가 “어떤 유한군의 위수를 나누는 가장 작은 소수”일 때
↑ 증명: 임의의 g∈G 및 x∈ker f에 대해 f(gxg⁻¹) = f(g) f(x) f(g⁻¹) = f(g) f(g)⁻¹ = e_H.

[1] 이 1보다 클 때에는 지표가 2이기 때문이다. 물론 ker sgn이기 때문이라고 이해해도 된다.

[2] 예를 들어 {(12)(34)}⊴V₄⊴A₄이지만 {(12)(34)}가 A₄의 정규부분군인 것은 아니다.

[3] 증명: 임의의 g∈G에 대해 gN=Ng이므로 임의의 g∈H에 대해서도 당연히 gN=Ng이다.

[4] 증명: 임의의 g∈G 및 x∈N∩K에 대해 gxg⁻¹를 생각하면, 이는 N이 정규부분군이므로 N에 속하고, K가 정규부분군이므로 K에도 속한다. 따라서 gxg⁻¹∈N∩K.

[5] 이와 달리 H와 K가 단순히 G의 부분군이기만 한 경우에는 집합 [math]\displaystyle{ HK=\{hk\vert h\in H \text{ and } k\in K\} }[/math]는 부분군조차 되지 못할 수도 있음에 유의하여야 한다.

[6] 좀 더 일반적으론, 지표가 “어떤 유한군의 위수를 나누는 가장 작은 소수”일 때

[7] 증명: 임의의 g∈G 및 x∈ker f에 대해 f(gxg⁻¹) = f(g) f(x) f(g⁻¹) = f(g) f(g)⁻¹ = e_H.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

@@ 1번째 줄: / 1번째 줄: @@
 == 정의 ==
 [[군 (수학)|군]] ''G''의 부분군을 ''N''이라고 하자. 임의의 <math>g\in G</math>에 대해
 : <math>gN=Ng</math>
-면 ''N''을 ''G''의 '''정규부분군(Normal subgroup)'''이라 하고 <math>N\triangleleft G</math>로 표기한다. 이때 <math>gN,Ng</math>는 각각 ''N''의 좌잉여류(left coset)와 우잉여류(right coset)를 나타낸다. 이 정의는 임의의 <math>n\in N</math>에 대해서 <math>gn=ng</math>임을 뜻하는 것이 절대 아니다!
+면 ''N''을 ''G''의 '''정규부분군(Normal subgroup)'''이라 하고 <math>\require{AMSmath}\require{AMSsymbols}N\trianglelefteq G</math>로 표기한다. 이때 <math>gN,Ng</math>는 각각 ''N''의 좌잉여류(left coset)와 우잉여류(right coset)를 나타낸다. 이 정의는 임의의 <math>n\in N</math>에 대해서 <math>gn=ng</math>임을 뜻하는 것이 절대 아니다!
 다음 [[명제]]는 서로 동치이다.
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 == 예시 ==
 * 아벨군의 경우에는 교환법칙이 성립하므로 모든 부분군이 정규부분군이다.
-* <math>\{e\} \triangleleft G, \; G \triangleleft G</math>. 만약 <math>G</math>의 정규부분군이 <math>\{e\}</math>와 <math>G</math>뿐이면 <math>G</math>를 [[단순군]](simple group)이라 한다.
+* <math>\{e\} \trianglelefteq G, \; G \trianglelefteq G</math>. 만약 <math>G</math>의 정규부분군이 <math>\{e\}</math>와 <math>G</math>뿐이면 <math>G</math>를 [[단순군]](simple group)이라 한다.
-* <math>\operatorname {SL}(V)\triangleleft\operatorname {GL}(V), \; \operatorname {SO}(n)\triangleleft\operatorname {O}(n), \; \operatorname {SU}(n)\triangleleft\operatorname {U}(n)</math>
+* <math>\operatorname {SL}(V)\trianglelefteq\operatorname {GL}(V), \; \operatorname {SO}(n)\trianglelefteq\operatorname {O}(n), \; \operatorname {SU}(n)\trianglelefteq\operatorname {U}(n)</math>
-* <math>A_n \triangleleft S_n</math> <ref>''n''이 1보다 클 때에는 지표가 2이기 때문이다. 물론 ker sgn이기 때문이라고 이해해도 된다.</ref>
+* <math>A_n \trianglelefteq S_n</math> <ref>''n''이 1보다 클 때에는 지표가 2이기 때문이다. 물론 ker sgn이기 때문이라고 이해해도 된다.</ref>
 == 성질 ==
 * 정규부분군의 정규부분군은 정규부분군이 '''아니다'''.<ref>예를 들어 {(12)(34)}⊴''V''<sub>4</sub>⊴''A''<sub>4</sub>이지만 {(12)(34)}가 ''A''<sub>4</sub>의 정규부분군인 것은 아니다.</ref>
-** 그러나, <math>N\le H\le G</math>이고 <math>N\triangleleft G</math>이면 <math>N\triangleleft H</math>이다.<ref>증명: 임의의 ''g''∈''G''에 대해 ''gN''=''Ng''이므로 임의의 ''g''∈''H''에 대해서도 당연히 ''gN''=''Ng''이다.</ref>
+** 그러나, <math>N\le H\le G</math>이고 <math>N\trianglelefteq G</math>이면 <math>N\trianglelefteq H</math>이다.<ref>증명: 임의의 ''g''∈''G''에 대해 ''gN''=''Ng''이므로 임의의 ''g''∈''H''에 대해서도 당연히 ''gN''=''Ng''이다.</ref>
 * 정규부분군의 교집합은 정규부분군이다. 즉, ''N''과 ''K''가 ''G''의 정규부분군이면, <math>N\cap K</math>는 ''G''의 정규부분군이다.<ref>증명: 임의의 ''g''∈''G'' 및 ''x''∈''N''∩''K''에 대해 ''gxg''<sup>−1</sup>를 생각하면, 이는 ''N''이 정규부분군이므로 ''N''에 속하고, ''K''가 정규부분군이므로 ''K''에도 속한다. 따라서 ''gxg''<sup>−1</sup>∈''N''∩''K''.</ref>
 * ''N''과 ''K''가 ''G''의 정규부분군이면, 집합 <math>NK=\{nk\vert n\in N \text{ and } k\in K\}</math><ref>이와 달리 ''H''와 ''K''가 단순히 ''G''의 부분군이기만 한 경우에는 집합 <math>HK=\{hk\vert h\in H \text{ and } k\in K\}</math>는 부분군조차 되지 못할 수도 있음에 유의하여야 한다.</ref>는 ''G''의 정규부분군이다.