절댓값: 두 판 사이의 차이

2015년 8월 14일 (금) 16:09 판

절댓값(絶對-, absolute value)은 실수나 복소수 (또는 사원수)에 대하여, 수직선이나 복소평면의 원점에서부터 그 수까지의 거리로, 놈의 특수한 경우이다. 기호로 [math]\displaystyle{ |x| }[/math]로 나타내며, 프로그래밍 언어 등에서는 absolute의 앞 세 글자를 따 abs(x)라고 쓴다.

실수

실수 [math]\displaystyle{ x }[/math]에 대하여, 절댓값 [math]\displaystyle{ |x| }[/math]을

[math]\displaystyle{ |x| := x\operatorname{sgn} x = \begin{cases} x, & \textrm {if } a \ge 0 \\ -x, & \textrm{if } a \lt 0. \end{cases} }[/math]

으로 정의한다. 절댓값은 완전 곱셈적 함수이며, 거리함수의 일종이므로 삼각부등식이 성립하는 등의 성질을 만족한다.

[math]\displaystyle{ |x| = \sqrt{x^2} }[/math] (거듭제곱으로의 표현)
[math]\displaystyle{ |x| \ge 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ |x| = 0 \Leftrightarrow x = 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ |xy| = |x||y| }[/math] (완전 곱셈적)
[math]\displaystyle{ |x+y| \le |x| + |y| }[/math] (삼각부등식 1)
[math]\displaystyle{ \left||x|\right| = |x| }[/math] (멱등성)
[math]\displaystyle{ |-x| = |x| }[/math] (우함수)
[math]\displaystyle{ |x-y| = 0 \Leftrightarrow x=y }[/math]
[math]\displaystyle{ |x-y| \le |x-z| + |z-y| }[/math] (삼각부등식 2)
[math]\displaystyle{ |x-y| \ge \left||x|-|y|\right| }[/math] (삼각부등식 3)
[math]\displaystyle{ |x| \le y \Leftrightarrow -y \le x \le y }[/math]
[math]\displaystyle{ |x| \ge y \Leftrightarrow x \le -y\le 0\ or 0 \le y \le a }[/math]

복소수

절댓값과 그래프

참고

@@ 6번째 줄: / 6번째 줄: @@
 == 실수 ==
 실수 <math>x</math>에 대하여, 절댓값 <math>|x|</math>을
-:<math>|x| := x\operatorname{sgn} x = \begin{cases} a, & \textrm {if }  a \ge 0  \\ -a,  & \textrm{if } a < 0. \end{cases} </math>
+:<math>|x| := x\operatorname{sgn} x = \begin{cases} x, & \textrm {if }  a \ge 0  \\ -x,  & \textrm{if } a < 0. \end{cases} </math>
 으로 정의한다. 절댓값은 [[완전 곱셈적 함수]]이며, [[거리함수]]의 일종이므로 [[삼각부등식]]이 성립하는 등의 성질을 만족한다.
-* <math>|x| = \sqrt{a^2}</math> (거듭제곱으로의 표현)
+* <math>|x| = \sqrt{x^2}</math> (거듭제곱으로의 표현)
-* <math>|a| \ge 0</math>
+* <math>|x| \ge 0</math>
-* <math>|a| = 0 \iff a = 0</math>
+* <math>|x| = 0 \Leftrightarrow x = 0</math>
-* <math>|ab| = |a||b|</math> (완전 곱셈적)
+* <math>|xy| = |x||y|</math> (완전 곱셈적)
-* <math>|a+b| \le |a| + |b|</math> (삼각부등식 1)
+* <math>|x+y| \le |x| + |y|</math> (삼각부등식 1)
-* <math>|(|a|)| = |a|</math> (멱등성)
+* <math>\left||x|\right| = |x|</math> (멱등성)
-*    <math>|-a| = |a|</math> (우함수)
+*    <math>|-x| = |x|</math> (우함수)
-*    <math>|a - b| = 0 \Leftrightarrow a = b</math>
+*    <math>|x-y| = 0 \Leftrightarrow x=y</math>
-*    <math>|a - b| \le |a - c| + |c - b|</math> (삼각부등식 2)
+*    <math>|x-y| \le |x-z| + |z-y|</math> (삼각부등식 2)
-*    <math>|a-b| \ge |(|a| - |b|)|</math> (삼각부등식 3)
+*    <math>|x-y| \ge \left||x|-|y|\right|</math> (삼각부등식 3)
-*<math>|a| \le b \Leftrightarrow -b \le a \le b</math>
+*<math>|x| \le y \Leftrightarrow -y \le x \le y</math>
-* <math>|a| \ge b \Leftrightarrow a \le -b\le 0\ or 0 \le b \le a </math>
+* <math>|x| \ge y \Leftrightarrow x \le -y\le 0\ or 0 \le y \le a </math>
 == 복소수 ==