(새 문서: {{토막글}} {{학술}} == 정의 == 군 <math>G</math>와 그 부분군 <math>K</math>, <math>a\in G</math>가 주어졌을 때 : <math>aK=\{ak:k\in K\}</math>...) |
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* 부분군의 두 우잉여류는 같거나 | * 부분군의 두 우잉여류는 같거나 [[서로소]]이다. | ||
군 <math>G</math>의 부분군 <math>K</math>, 그리고 <math>a,b\in G</math>를 생각하자. <math>Ka \cap Kb \ne \emptyset</math>이면 <math>c\in Ka \cap Kb</math>인 <math>c</math>가 존재하므로 <math>c\in Ka</math>이고 <math>c\in Kb</math>이다. 즉 <math>c\equiv a\pmod K</math>이고 <math>c\equiv b\pmod K</math>이므로 <math>a\equiv b\pmod K</math>이고, 따라서 <math>Ka=Kb</math>이다. | |||
* 군은 자신의 부분군의 모든 우잉여류들의 합집합이다. | * 군은 자신의 부분군의 모든 우잉여류들의 합집합이다. | ||
군을 <math>G</math>라 하고 그 부분군을 <math>K</math>라 하면, <math>G=\bigcup_{a\in G}Ka</math>임을 보이면 된다. 임의의 <math>c\in G</math>에 대해 <math>c=ec\in Kc</math>이므로 <math>c\in \bigcup_{a\in G}Ka</math>이다. 그러므로 <math>G\subseteq \bigcup_{a\in G}Ka</math>이다. 한편, <math>K</math>의 임의의 잉여류는 <math>G</math>의 원소만 포함하기 때문에 <math>\bigcup_{a\in G}Ka \subseteq G</math>이다. 따라서 원하는 결과를 얻는다. | |||
== 같이 보기 == | == 같이 보기 == | ||
* [[정규부분군]] | * [[정규부분군]] | ||
2016년 6월 1일 (수) 18:53 판
정의
군 [math]\displaystyle{ G }[/math]와 그 부분군 [math]\displaystyle{ K }[/math], [math]\displaystyle{ a\in G }[/math]가 주어졌을 때
- [math]\displaystyle{ aK=\{ak:k\in K\} }[/math]
를 [math]\displaystyle{ K }[/math]의 좌잉여류(left coset)라고 하고,
- [math]\displaystyle{ Ka=\{ka:k\in K\} }[/math]
를 [math]\displaystyle{ K }[/math]의 우잉여류(right coset)라고 한다.
성질
- 부분군의 두 우잉여류는 같거나 서로소이다.
군 [math]\displaystyle{ G }[/math]의 부분군 [math]\displaystyle{ K }[/math], 그리고 [math]\displaystyle{ a,b\in G }[/math]를 생각하자. [math]\displaystyle{ Ka \cap Kb \ne \emptyset }[/math]이면 [math]\displaystyle{ c\in Ka \cap Kb }[/math]인 [math]\displaystyle{ c }[/math]가 존재하므로 [math]\displaystyle{ c\in Ka }[/math]이고 [math]\displaystyle{ c\in Kb }[/math]이다. 즉 [math]\displaystyle{ c\equiv a\pmod K }[/math]이고 [math]\displaystyle{ c\equiv b\pmod K }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ a\equiv b\pmod K }[/math]이고, 따라서 [math]\displaystyle{ Ka=Kb }[/math]이다.
- 군은 자신의 부분군의 모든 우잉여류들의 합집합이다.
군을 [math]\displaystyle{ G }[/math]라 하고 그 부분군을 [math]\displaystyle{ K }[/math]라 하면, [math]\displaystyle{ G=\bigcup_{a\in G}Ka }[/math]임을 보이면 된다. 임의의 [math]\displaystyle{ c\in G }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ c=ec\in Kc }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ c\in \bigcup_{a\in G}Ka }[/math]이다. 그러므로 [math]\displaystyle{ G\subseteq \bigcup_{a\in G}Ka }[/math]이다. 한편, [math]\displaystyle{ K }[/math]의 임의의 잉여류는 [math]\displaystyle{ G }[/math]의 원소만 포함하기 때문에 [math]\displaystyle{ \bigcup_{a\in G}Ka \subseteq G }[/math]이다. 따라서 원하는 결과를 얻는다.