일차독립

정의

체 [math]\displaystyle{ F }[/math]와 [math]\displaystyle{ F }[/math] 위의 벡터공간 [math]\displaystyle{ V }[/math]가 주어졌다고 하자. [math]\displaystyle{ V }[/math]의 원소의 집합 [math]\displaystyle{ S=\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\cdots,\mathbf{v}_n\} }[/math]이 주어졌을 때, [math]\displaystyle{ F }[/math]의 원소 [math]\displaystyle{ x_1,x_2,\cdots,x_n }[/math]에 대한 방정식

[math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^n x_i \mathbf{v}_i = \mathbf{0} }[/math]

의 해가 [math]\displaystyle{ x_1=x_2=\cdots=x_n=0 }[/math]로 유일하면, [math]\displaystyle{ S }[/math]의 원소들을 일차독립 또는 선형독립(linearly independent)이라고 한다. 만약 [math]\displaystyle{ S }[/math]의 원소들이 선형독립이 아니면, 즉

[math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^n x_i \mathbf{v}_i = \mathbf{0} }[/math]

의 해 중 영이 아닌 것이 있다면 일차종속 또는 선형종속(linearly dependent)이라고 한다.

예시

[math]\displaystyle{ \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\in \mathbb{R}^3 }[/math]이 다음과 같이 정의되었다고 하자.

[math]\displaystyle{ \mathbf{v}_1=\begin{bmatrix} 2\\ 1\\ 1 \end{bmatrix}, \mathbf{v}_2=\begin{bmatrix} -1\\ 0\\ 3 \end{bmatrix}, \mathbf{v}_3=\begin{bmatrix} 2\\ -1\\ -1 \end{bmatrix} }[/math]

방정식

[math]\displaystyle{ x_1 \mathbf{v}_1 +x_2\mathbf{v}_2 + x_3 \mathbf{v}_3=\mathbf{0} }[/math]

을

[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2 & -1 & 2\\ 1 & 0 & -1\\ 1 & 3 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix} }[/math]

와 같이 나타낼 수 있고, 행렬식의 라플라스 전개를 이용하면

[math]\displaystyle{ \begin{align} \det\begin{bmatrix} 2 & -1 & 2\\ 1 & 0 & -1\\ 1 & 3 & -1 \end{bmatrix}&=2\det\begin{bmatrix} 0 & -1\\ 3 & -1 \end{bmatrix}-\det\begin{bmatrix} -1 & 2\\ 3 & -1 \end{bmatrix}+\det\begin{bmatrix} -1 & 2\\ 0 & -1 \end{bmatrix}\\ &=2\cdot 3 - (-5)+1\\ &=12\ne 0 \end{align} }[/math]

이므로 연립방정식의 해는 [math]\displaystyle{ x_1=x_2=x_3=0 }[/math]이다. 따라서 [math]\displaystyle{ \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3 }[/math]는 선형독립이다.

성질

추가바람

같이 보기

• 기저