이차곡선

• 二次曲線 / Conic section

개요

다양한 이차곡선이 있다.

일차식의 곱으로 인수분해되지 않는 [math]\displaystyle{ x }[/math]와 [math]\displaystyle{ y }[/math]에 대한 이차방정식 [math]\displaystyle{ ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f =0 }[/math]의 꼴로 나타내지는 곡선을 의미한다. 원뿔을 자르면 나타나는 단면의 모양에서 이러한 곡선들이 나타나기 때문에 원뿔곡선이라고도 한다.

극방정식

이심률의 변화에 따라 이차곡선의 형태가 변한다.

극좌표계에선 직교좌표계와 달리 이차곡선의 방정식을 하나로 나타낼 수 있다. 원점과 \(x\)축 위의 한 점을 초점으로 하는 이차곡선에 대한 방정식은 일반적으로 다음과 같다.

[math]\displaystyle{ r=\frac{\alpha}{1+\epsilon\cos\theta} }[/math]

이때,

• \(|\epsilon| > 1\)일 때, 쌍곡선
• \(|\epsilon| = 1\)일 때, 포물선
• \(0 < |\epsilon| < 1\)일 때, 타원
• \(\epsilon = 0\)일 때, 원

이다.