유클리드 정역

정의

정역 [math]\displaystyle{ R }[/math]에 대해 함수 [math]\displaystyle{ \delta:R\setminus \{0_R\}\to \mathbb{N}\cup\{0\} }[/math]가 존재해

• 임의의 [math]\displaystyle{ a,b\in R }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \delta(a)\le \delta(ab) }[/math]
• 임의의 [math]\displaystyle{ a,b\in R }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ b\ne 0_R }[/math]일 때 [math]\displaystyle{ q,r\in R }[/math]이 존재해 [math]\displaystyle{ a=bq+r }[/math]을 만족하고, [math]\displaystyle{ r=0_R }[/math] 또는 [math]\displaystyle{ \delta(r)\lt \delta(b) }[/math]

을 만족하면 [math]\displaystyle{ R }[/math]을 유클리드 정역(Euclidean domain)이라고 하고, [math]\displaystyle{ \delta }[/math]를 유클리드 영역함수(Euclidean valuation)라고 한다. 한편 함수 [math]\displaystyle{ f:R\setminus \{0_R\}\to \mathbb{N}\cup\{0\} }[/math]가 두 번째 조건을 만족한다고 가정하자. 함수 [math]\displaystyle{ \delta:R\setminus \{0_R\}\to \mathbb{N}\cup\{0\} }[/math]를

[math]\displaystyle{ \delta(a)=\min_{b\in R\setminus \{0\}}f(ab) }[/math]

로 정의하자. 그러면 임의의 [math]\displaystyle{ a,b\in R }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \delta(a)=f(ab_0) }[/math]인 [math]\displaystyle{ b_0\in R\setminus \{0_R\} }[/math]이 존재하고, [math]\displaystyle{ \delta(ab)=f(abc) }[/math]인 [math]\displaystyle{ c\in R\setminus \{0\} }[/math]이 존재하는데, [math]\displaystyle{ \delta }[/math]의 정의에 의해 [math]\displaystyle{ \delta(a)=f(ab_0)\le f(abc)=\delta(ab) }[/math]이다. 따라서 [math]\displaystyle{ \delta }[/math]는 첫 번째 조건을 만족한다. 한편 [math]\displaystyle{ b\in R\setminus\{0\} }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \delta(b)=f(bc) }[/math]인 [math]\displaystyle{ c\in R\setminus\{0\} }[/math]가 존재한다. 이때 [math]\displaystyle{ a=(bc)q+r }[/math]을 만족하는 [math]\displaystyle{ q,r\in R }[/math]이 존재해 [math]\displaystyle{ r=0_R }[/math]이거나 [math]\displaystyle{ f(r)\lt f(bc) }[/math]이다. 그러면 [math]\displaystyle{ a=b(cq)+r }[/math]이다. 만약 [math]\displaystyle{ r=0_R }[/math]이면 원하는 결론을 얻으므로 [math]\displaystyle{ r\ne 0_R }[/math]이라고 가정하자. 그러면 [math]\displaystyle{ f(r)\lt f(bc) }[/math]인데, [math]\displaystyle{ \delta }[/math]의 정의에 의해 [math]\displaystyle{ \delta(r)\le f(r 1_R)=f(r) }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ \delta(r)\le f(r)\lt f(bc)=\delta(b) }[/math]이다. 따라서 [math]\displaystyle{ \delta }[/math]는 두 번째 조건을 만족하므로 [math]\displaystyle{ \delta }[/math]는 [math]\displaystyle{ R }[/math]의 유클리드 영역함수이다.

따라서 정역이 두 번째 조건만 만족하더라도 유클리드 정역이라고 부를 수 있다.

예시

• [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math]는 [math]\displaystyle{ \delta(a)=|a| }[/math]로 주어진 유클리드 정역이다.
• [math]\displaystyle{ F }[/math]가 체일 때, 다항식환 [math]\displaystyle{ F[x] }[/math]는 [math]\displaystyle{ \delta(f(x))=\deg f(x) }[/math]로 주어진 유클리드 정역이다.
• [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}[i]=\{s+ti\mid s,t\in\mathbb{Z}\} }[/math]는 [math]\displaystyle{ \delta(s+ti)=s^2+t^2 }[/math]으로 주어진 유클리드 정역이다.
• 임의의 체는 [math]\displaystyle{ \delta(a)=0 }[/math]으로 주어진 유클리드 정역이다.

성질

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