로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요![[유클리드의 원론]] 제1권은 합동, 평행선, 직선으로 이루어진 도형에 대한 간단한 설명이 나온다. 1권은 23개의 정의, 5개의 공준과 5개의 상식을 기초로 논리를 전개하고 있다. == 정의 == 정의(Definitions)들을 나열하고 있다. # 점(point)은 부분(part)이 없는 것이다. # 선(line)은 폭(breadth)이 없는 '길이(length)'다. # 선의 끝(the edge of line)은 점이다. # 직선(straight line)은 점이 일정하게 놓인 선이다. # 면(surface)는 길이와 폭만을 갖는 것이다. # 면의 끝은 선이다. # 평면(plane surface)은 직선이 일정하게 놓인 면이다. # 평면각(plane angle)은 평면 위의 두 직선이 만나서 생기는 것이다. # 각을 형성하는 두 선이 직선일 때 곧은 각(rectilinear)이라고 한다. # 한 직선이 다른 직선과 만나 나누어 생긴 두 각의 크기가 같을 때 두 각을 직각(Right angle)이라고 한다. # 직각보다 더 큰 각을 둔각(Obtuse angle)이라고 한다. # 직각보다 더 작은 각을 예각(Acute angle)이라고 한다. # 경계(Boundary)는 모든 것(기하학적 객체)의 끝부분을 말한다. # 도형(Figure)이란 (모든 방향으로) 경계를 가진 것이다. # 원(Circle)이란 평면상의 한 점에 대해 그 점과 거리가 같은 점들을 경계로 하는 도형이다. # 그리고 15번에서 그 평면상의 그 점을 중심(Center)이라고 한다. # 지름(Diameter)이란 원의 중심을 지나는 임의의 직선에 대해 원과 만나는 두 점 사이의 부분을 말한다. # 반원(Hemicircle)이란 원의 한 지름과 지름에 의해 나누어진 호를 경계로 하는 도형이다, # 다각형(Rectilinear Figure)이란 (유한한) 직선 경계를 가지는 객체이다. 경계를 형성하는 직선이 3개면 삼각형(Triangle), 4개면 사각형(Quadrilateral), 4개를 넘을 때 다각의(Multilateral) 도형이라고 한다. # [[삼각형]] 중에 세 변의 길이가 같으면 정삼각형(Equilateral Triangle),두 변의 길이가 같으면 이등변삼각형(Isosceles triangle), 세 변의 길이가 모두 다르면 부등변삼각형(Scalene Triangle)이라고 한다. # 또한 삼각형 중 직각을 갖고 있으면 직각삼각형(Right-angled Triangle), 둔각을 갖고 있으면 둔각삼각형(Obtuse Triangle), 예각만 갖고 있으면 예각삼각형(Acute Triangle)이라고 한다. # 사각형 중 등변이며, 직각으로 둘러싸인 사각형을 정사각형(Square), 직각으로 둘러싸였지만 등변이 아니면 직사각형(Oblong or Rectangle), 등변이지만 직각으로 둘러싸이지 않은 사각형을 마름모(Rhombus), 마주보는 변(대변-對邊)과 각(대각-對角)이 서로 같지만 변의 길이도 각도도 모두 같지 않으면 평행사변형(Parallelogram or Rhomboid)이라고 한다. # 두 직선이 평행하다(Two lines are Parallel)는 말은 두 직선이 같은 방향을 가진다는 말이다. 다시 말해 두 직선은 만나지 않는다는 소리이다. == 공준과 상식 == 공준(Postulates)과 상식(Common Notion)은 유클리드 원론에서의 모든 기하학적인 대상에 대해 설명하고 있다. 다만 공준은 기하학적인 객체에 한정한 공리인 반면 상식은 기하학적인 객체 이외에도 모든 수학적 대상에 대한 공리라고 볼 수 있다. === 공준 === # 임의의 점에서 임의의 점 사이로 직선을 그을 수 있다. # 임의의 선분을 연장해서 그을 수 있다. # 임의의 점을 중심으로 특정한 반지름을 갖는 원을 그릴 수 있다. # 모든 직각은 서로 같다. # 1개의 직선과 2개의 직선이 만날 때 서로 마주보는 각(이것을 동측내각이라고 한다)의 합이 2직각보다 작은 쪽에서 두 직선이 만난다. === 상식 === 등식과 부등식에 대한 정리 # 같은 것끼리는 서로 같다. 즉, A=B, B=C이면 A=C. # 같은 것을 더해서 같은 것은 서로 같다. 즉, A+C=B+C이면 A=B. # 같은 것을 빼서 같은 것은 서로 같다. 즉, A-C=B-C이면 A=B. # 서로 대응하는 것이 완전히 일치하는 것은 서로 같다. # 전체는 부분보다 더 크다. == 정리 목록 == 각 정리의 증명과정은 D.E.Joyce 교수의 원론 정리 증명 문서를 참조할 것. # 주어진 선분을 한 변으로 하는 정삼각형을 작도할 수 있다. # 주어진 선분 밖의 한 점을 끝점으로 하여 주어진 선분을 이동시킬 수 있다. # 두 선분이 주어지면 긴 선분에서 짧은 선분을 자른 길이를 가진 선분을 작도할 수 있다. # 두 삼각형이 서로 대응하는 두 변의 길이와 그 두 변 사이에 존재하는 대응하는 각의 크기가 같으면 두 삼각형은 합동이고 나머지 대응하는 각과 변의 크기도 동일하다. # 이등변삼각형에서 등변의 하나와 밑변이 이루는 두 각(밑각)의 크기는 같다. # (5의 역) 삼각형에서 두 각의 크기가 같으면 그두 각이 공유하지 않은 각각의 두 변의 길이는 같다. # 선분 a의 양 끝점을 지나는 직선 b와 직선 c가 존재할 때 선분 a의 양 끝점과 직선 b, c의 교점의 거리를 측정한다. 이 때 한 쪽 방향에서 b, c의 교점과 a의 양 끝점과의두 거리가 정확하게 일치하는 점은 존재하지 않는다. # 대응하는 세 쌍의 변의 길이가 같은 두 삼각형은 합동이며, 대응하는 각의 크기도 서로 같다. # 주어진 각을 이등분할 수 있다. # 주어진 선분을 이등분할 수 있다. # 직선 위에 주어진 점에서 그 직선의 수선을 그을 수 있다. # 직선 밖의 주어진 점에서 그 직선의 수선을 그을 수 있다. # 한 선분의 끝점이 한 직선 위에 있을 때 만나서 생기는 두 각의 크기의 합은 2직각이다. # (13의 역) 두 선분(a, b)이 한 점을 공유하고 또 다른 선분(c)과 만나서 생기는 각각의 각(ac, bc)의 합이 2직각이면 그 두 선분(a, b)은 한 직선을 이룬다. # 두 선분(직선)이 한 점에서 만나면 서로 마주보는 각의 크기는 똑같다. # 삼각형의 외각은 그 외각과 접하지 않은 나머지 두 내각의 크기보다 더 크다. # 삼각형의 임의의 두 각의 크기의 합은 2직각보다 더 작다. # 삼각형에서 가장 긴 변 맞은편에 있는 각이 가장 크다. # (18의 역) 삼각형에서 가장 큰 각 맞은편에 있는 변이 가장 길다. # 삼각형에서 임의의 두 변의 길이의 합은 나머지 한 변의 길이보다 더 길다. # 임의의 삼각형(A)이 존재할 때 한 변과 삼각형 내부의 점으로 이루어진 또 다른 삼각형(B)을 작도하면 그 삼각형(B)의 나머지 두 변의 길이의 합은 바깥쪽 삼각형(A)의 것보다 작지만 (B의)대각의 크기는 바깥쪽 삼각형(A)의 것보다 더 크다. # 어떠한 두 변의 길이의 합이 다른 한 변의 길이보다 더 크다는 조건을 만족하는 세 변이 주어질 때 삼각형을 작도할 수 있다. # 끝점이 있는 선분과 임의의 (직선)각이 주어질 때 주어진 선분에 그 각과 크기가 같은 각을 작도할 수 있다. # 두 삼각형이 서로 대응하는 두 변의 길이가 같지만 각이 다른 경우에는 각이 더 큰 쪽이 그 각의 대변(對邊)의 길이도 더 길다. # 두 삼각형이 서로 대응하는 나머지 두 변의 길이가 같으면 밑변의 길이가 긴 삼각형의 밑변의 대각이 밑변의 길이가 짧은 삼각형의 밑면의 대각보다 더 크다. # 두 삼각형의 두 각의 크기가 같고 그 사이에 대응되는 변의 길이가 같으면 두 삼각형은 합동이고, 나머지 한 각의 크기와 두 변의 길이도 동일하다. # 한 직선(X)이 다른 2개의 직선(A, B)과 만날 때 생기는 각 중 서로 엇갈린 위치에 있는 두 각(alternative angles)의 크기(예: XA의 바깥쪽 왼쪽 각과 XB의 바깥쪽 오른쪽 각)가 같으면 두 직선은 평행하다. # 한 직선(X)이 다른 2개의 직선(A, B)과 만날 때 어떤 각이 다른 직선의 같은 방향에 있는 각의 크기가 같거나(예: XA의 위 왼쪽 각과 XB의 위 왼쪽 각) 2개 직선을 통과하는 한 직선을 기준으로 같은 쪽에 있는 내각의 크기가 같으면 두 직선은 평행하다. # (27, 28의 역) 평행선이 한 직선과 만날 때 어떤 각의 크기는 한 직선과 만나 생기는 각 중 엇갈린 위치에 있는 각의 크기나 같은 위치에 있는 각의 크기와 동일하고, 같은 쪽에 있는 두 내각의 크기의 합은 2직각이 된다. # 한 직선이 평행선 중 하나와 평행하면 나머지 한 직선과도 평행하다. # 주어진 직선 위를 지나지 않는 한 점을 지나며 그 직선과 평행한 (유일한) 직선을 작도할 수 있다. # 삼각형의 외각의 크기는 그 외각과 변을 공유하지 않은 나머지 두 내각의 크기의 합과 같다. # 평행하고 길이가 같은 두 선분의 끝을 (나란히) 연결시킨 두 직선은 그 자체가 평행하다. # 평행사변형에서 엇갈려 있는 두 각의 크기는 동일하며, 대각선은 평행사변형을 이등분한다. # 밑변과 그 밑변의 평행선을 공유하는 두 평행사변형의 넓이는 같다. # 밑변의 길이가 같고 각각의 밑변이 서로 같은 평행선 안에 있는 두 평행사변형의 넓이는 같다. # 밑변을 공유하고 나머지 한 점이 같은 평행선 위에 있는 두 삼각형의 넓이는 같다. # 밑변의 길이가 같고 밑변과 나머지 한 점이 모두 같은 평행선 위에 있는 두 삼각형의 넓이는 같다. # 넓이가 같고 밑변을 공유하는 두 삼각형의 꼭짓점을 이은 선분은 밑변과 평행하다. # 넓이가 같고 밑변의 길이가 같으며 두 밑변이 한 직선 위에 있을 때 두 삼각형의 꼭짓점을 이은 선분은 밑변을 포함하는 직선과 평행하다. # 평행사변형의 넓이는 밑변을 공유하고 꼭짓점이 밑변과 마주보는 변 위에 있는 삼각형의 넓이의 2배가 된다. # 주어진 각을 한 각으로 하며, 주어진 삼각형의 넓이와 똑같은 평행사변형을 작도할 수 있다. # 평행사변형에서 한 대각선 위를 지나는 점으로 평행사변형을 네 개의 평행사변형으로 나눌 때 중간 크기의 엇갈려 있는 두 평행사변형(complements about a diameter)의 크기는 동일하다. # 한 선분, 한 각, 한 삼각형이 주어질 때 주어진 선분을 한 변의 길이로 하고, 주어진 각을 내각의 크기로 하며 주어진 삼각형의 면적과 동일한 평행사변형을 작도할 수 있다. # 주어진 다각형과 면적이 동일한 평행사변형을 작도할 수 있다. # 한 선분이 주어졌을 때 그 선분을 변으로 하는 정사각형을 작도할 수 있다. # 직각삼각형에서 빗변의 정사각형의 넓이는 나머지 두 변으로 작도한 정사각형의 넓이의 합과 동일하다. ([[피타고라스의 정리]]) # 가장 긴 변의 정사각형의 넓이가 나머지 두 변으로 작도한 정사각형의 넓이의 합과 동일하면 짧은 두 변 사이의 각은 직각이다. (47번의 역) == 참조 == * [http://blog.naver.com/lyh901125 빛의 편지 블로그] - 고전서적 탭에 원론 관련 포스팅을 참조할 것. * [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/ D. E. Joyce 교수의 유클리드 원론] * [참고](유클리드 기하학 원론,구텐베르크 프로젝트,존 케이시 1885 ,아일랜드왕립대학교)http://www.gutenberg.org/files/21076/21076-pdf.pdf?session_id=9bfd9ef535a37ac859a6028f101fa4451e3226cc {{유클리드의 원론}} [[분류:유클리드의 원론|1권]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:Skin (원본 보기) (준보호됨)틀:둘러보기 상자 (원본 보기) (보호됨)틀:둘러보기 상자/핵심 (원본 보기) (보호됨)틀:유클리드의 원론 (편집) 틀:틀바 (원본 보기) (준보호됨)