위상수학

소개

일반적인 추상적 대상에 기하학적인 직관을 불어넣기 위해 만들어진 개념.

"근처" 라던가, "수렴한다"라던가 하는 기하학적인 개념을 정의하기 위해 우리가 일상적으로 생각하는 3차원 공간의 개념을 팬티만 남기고 빨가벗긴 개념이다. 즉 "근방"이 무엇이냐에 대한 정보만이 남아있으며 A와 B에서 얼마나 멀리 떨어져 있는가? 라는 거리개념따위는 존재하지 않는다. 위상공간을 잘 정의함으로써 기존에 단순히 집합으로만 여겨지던 대상들에게 기하학적 직관을 불어넣을 수 있으며, 이를 통하여 수학자들은 그 집합들에 대해 새로운 아이디어를 얻어가곤 한다. 자연스럽게 기하학적 대상으로 여기기가 어렵지만 기하학적 직관이 생겨서 이득을 보는 대상들의 예로는 p-adic Number와 Profinite Group 등이 있다.

이하에서는 위상공간의 정의를 처음 보는 사람을 위해 설명을 하고, 그후 다양한 추가적인 개념에 대해 설명하도록 한다.

정의

열린 집합

위상공간은 아무 집합 X를 갖다 놓고, 그중 X의 특정한 부분집합들을 "열린 집합"이라고 약속하는것이다. 즉, T가 X의 부분집합들을 모아놓은 집합이라고 하면, (T가 특정한 조건을 만족할때) (X,T)를 위상공간이라고 한다.

아무 부분집합들이나 모아놓고 열린 집합이라고 부르는 것이라면, 열린 집합은 대체 무슨 직관을 담고 있느냐를 알아야 할 것이다. 열린집합은 방문을 열어뒀을때 안팎의 구분이 애매하듯이, "껍질" (방문을 열어둔 방의 경우에는 "문"이 껍질이다)이 없는 집합을 두고 수학자들은 "열린 집합"이라고 한다.

근방

제일 처음에 말했듯이, 어떤 집합의 "근방"에 대한 정보만이 남아있는 것이 위상공간이다. 하지만 방금은 열심히 "열린 집합" 얘기만 했다. 그러면 둘은 무슨 관계인가? 집합 X의 어떤 임의의 점 x에 대해서 x의 근방은 바로 x를 포함하는 열린 집합으로 규정된다. 즉, 위상공간이라는 것은 "근방"이 무엇인가를 규정되어있는 집합 X라고 할 수 있다.

정의

직관을 설명했으니 정의를 하겠다. 위상공간은 집합 X와 X의 부분집합들을 모아놓은 집합인 T의 순서쌍이며, 앞서 얘기했듯이 T는 몇가지 조건을 만족하도록 정의되어있다.

1. 공집합과 전체집합은 T에 속한다.

2. T의 원소들을 아무리 (심지어 무한번 많이) 합집합해봤자 T에 속한다.

3. T의 원소들을 유한개만 모아서 교집합해봤자 T에 속한다.

T의 원소들을 열린 집합이라고 정의하며, X의 임의의 원소 x에 대해 x의 근방은 x를 포함하는 열린 집합이라고 정의한다.

1번 조건은 자잘한 문제가 생기는 것을 방지하기 위해서만 존재한다. 한편 2,3번은 위에서 이야기한 "열린집합"의 직관을 위해 아주 중요한 조건들이다. 왜 그런지를 살펴보기 위해서는 "거리공간"의 개념에 대해 고찰이 필요하다! "거리공간"이 바로 위상공간의 모든 직관을 담고있는 아주 중요한 공간이다.

위상공간의 모델: 거리공간

제일 위에서 "위상공간"이란 기하학적 직관을 팬티만 남기고 빨가벗긴 것이라고 설명했다. 그런데, 팬티만 말고 츄리닝까지는 입혀두고 벗긴 개념이 있다. 그것이 바로 "거리공간"이다. 즉, 덜 추상적인 것에서 더 추상적인 개념으로 나열을 해보면 다음과 같다:

유클리드 공간 < 거리공간 < 위상공간

거리공간은 최소한 A랑 B 사이의 거리정도는 규정할 수 있는 집합을 의미한다.

위상공간의 2,3번 조건에 대한 설명

<추가집필 해야됨.>

열린구간 무한히 많이 합집합해봤자 열린구간이다.

한편 열린구간 무한히 많이 교집합하면 닫힌구간이 될 수 도 있다. 그래서 3번 조건은 "유한히 많은 집합들의 교집합"으로 규정하는 것이다.

다양한 위상공간들

위에서는 위상공간의 정의에 큰 제약을 두지 않았지만, 추가적인 조건 몇개를 더 요구함으로써 더 말잘듣고 착하고 이쁜 이론을 전개하는것이 가능하다.(본격 이론 페티쉬)

하우스드로프 공간

실수 직선을 두고, 서로 다른 실수 x,y를 아무렇게나 골라보자. 예를 들어 x=10, y=1000. 그러면 x의 근방과 y의 근방을 잘 잡아서 두 근방이 절대 안겹치도록 할 수 있을까? 뭐, 그냥 구간 두개를 (9,11)랑 (999,1001) 이렇게 잡으면 된다. 근데 만약 x=10, y=10.00000000001이었다면 어떻게 할까? 그러면 (x-e,x+e), (y-e,y+e)를 잡되 e를 0.00000000000000000000000001이라고 하면 된다. 더 일반적으로는 e를 그냥 x-y의 반절로 잡으면 장땡이다. 그리고 이것은 거리공간에서 똑같이 논리전개가 가능하다.

이렇게, 착하고 말잘듣는 위상공간들은 아무 두점이나 잡아도 그 두점을 분리하는 근방들이 존재한다. 이런 공간을 하우스도르프 공간이라고 한다. 정의로 말하자면, 위상공간 X가 주어졌을때, 그 어떤 x,y라는 원소를 고른다고 하더라도 x를 포함하는 근방 U, y를 포함하는 근방 V를 잘 잡아서 U와 V에 교집합이 없도록 할 수 있다면 X는 하우스도르프 (Hausdorff) 공간이라고 한다.

하우스도르프 공간은 T₂ 공간이라고도 한다. 하우스도르프 공간의 조건을 더 강화해서 요구했을 때에는 T₃, T_3.5, T₄, T_4.5 공간이라고도 하며, 약화시킨 놈들은 T₁, T₀도 있다.

하우스도르프 공간이 아닌 놈이 존재하지 않겠지 싶을수도 있겠지만, 토폴로지를 줄 때에 T={공집합, 전체집합}이라고만 하면 하우스도르프는 커녕 T₀ 공간조차 아니게 된다! 이렇게 "반례를 위한 반례"가 아니어도, 실제로 응용되는 수준에서도 얼마든지 하우스도르프공간이 아닌 공간을 찾을수 있다. 예를 들면 affine scheme은 대부분 하우스도르프 공간이 아니다.

연결된 공간

길로 연결된 (path-connected) 공간의 직관

path connected implies connected

definition of connected space

컴팩트 공간

대충 작고 귀여운 공간.

Heine-Borel

대수적 위상수학, 미분위상수학

이상의 직관을 활용해서 재밌는 새로운 정보들을 알아낼 수 있다.