대수적 위상수학


1 소개[편집]

"공간에 있는 구멍의 개수"를 추상화한 개념인 호몰로지와 호모토피를 연구하는 분야이다. 왜 대수학과 연관되어 있느냐 하면, 호몰로지와 호모토피가 각각 구조를 이루기 때문이다. 일반위상수학과는 다르게, 다양체와 같은 좀 더 구체적인 대상의 "모양새"를 연구하는데 집중하는 분야이다.

공간의 구멍개수 세봤자 뭐하냐는 질문이 드는 게 정상이다. 그건 밑에 서술한다.

2 개념들[편집]

2.1 호모토피[편집]

2.1.1 기본군(Fundamental Group)[편집]

우선 어떤 도형에서 모든 루프를 모은 집합을 G라고 놓는다. 이때 두 루프 l, m에 대해서 루프를 결합하는 연산을 연산자로 놓는다. 두 루프가 호모토피할 때 l~m이라고 놓자. 이 때루프의 집합의 Quotient

[math]G/\sim = \{ l \in G \vert l \sim m {\rm {if}} \it l \simeq m\} [/math] 는 군을 이루는데 이것을 기본군이라고 부른다. 구멍(genus)이 없이 수축 가능한 집합(contractable)의 경우 모든 루프가 시작점으로 축소하는 호모토피가 존재하기 때문에 단순군이 된다. 하지만 구멍이 있는 경우 구멍을 중심으로 시계/반시계 방향으로 회전한 루프는 축소시키려고 해도 구멍에 걸리기 때문에 구멍 하나를 n바퀴 돈 뒤에 원점으로 돌아오는 루프는 한 점과 호모토피하지 않게 된다. 서로 별개의 루프로 연결된 경우에는 각각 루프를 돈 횟수에 따라 기본군에서 별개의 원소가 된다. 간단히 말하면 루프가 얼마나 쉽게 줄어드냐를 보여준다.

집합 기본군
Rn (수축가능한 집합) 0
S1(원), R2-{0} [math] \mathbb{Z}[/math]
Sn(원), Rn+1-{0} (n>1) 0
Cn (N차원 토러스) [math] \mathbb{Z}^n[/math]
뫼비우스 띠 [math] \mathbb{Z}_2[/math]
[math]{\lor}_n ( S^1 ) [/math] [math] {\ast}_n \mathbb{Z} [/math] (자유군 Free Group)

Fundamental Group의 아벨화(abelianization)은 First Homology Group인 만큼 두 가지 "구멍 찾는 방법"이 서로 연결되어 있음을 알 수 있다.

2.1.2 Homotopy Groups[편집]

Fundamental Group은 Homotopy Group의 일종이다. 정확히는 1차원 호모토피 그룹이다.

계산하기 어렵다. 호프 섬유가 기상천외한 호모토피군의 예를 보여준다.

2.2 호몰로지[편집]

2.2.1 Simplicial, Singular, Cellular Homology[편집]

공간의 구멍의 개수에 대한 비교적 직관적인 표현으로써 Singular Homology가 있다. (이것의 직관을 이해해야 "구멍"임을 인지할 수 있는데, 추가바람). 이것을 쉽게 계산하기 위한 도구로써 Simplicial / Cellular Homology가 있다. Singular Homology는 그 자체로써는 계산이 거의 불가능에 가까우며, 주어진 공간을 더 이해하기 쉬운 공간들로 분할함으로써 Simplicial / Cellular Homology를 구할 수 있다. 그 "이해하기 쉬운 공간"은 각각 Simplicial Complex와 CW Complex이다. 이 세 가지가 같다는 것은 열심히 증명해야 알 수 있는, 비교적 어려운 사실이다. (Alan Hatcher의 Algebraic Topology를 참고하자!)

2.2.2 Singular Cohomology[편집]

호몰로지에 대한 대칭적인 개념으로 코호몰로지가 있다. 이것의 정의 그대로만 보면 뭐하자는 건지 넋놓기 쉬운데, 이것의 직관은 푸앙카레 쌍대성(Poincare Duality)에 담겨 있다. 이것 역시 공간의 구멍개수를 세는 방법론이다.

2.2.3 Sheaf Cohomology[편집]

쉬프에 대해서 코호몰로지를 Derived Functor로 구할 수 있다.


2.2.4 대수다양체의 코호몰로지 이론[편집]

그로텐디크베유 가설을 풀기 위해 만들어 낸 개념이다. 이전에 베유(Weil. 프랑스어라서 이렇게 읽는다. 사실 더 정확히는 베이 가 맞다.)가설을 풀기 위해 "Weil Cohomology"라는 이론을 수학자들이 이미 찾고 있었으며, 아래의 이론들은 그 노력의 결과로서 만들어졌다. 결국 Etale Cohomology가 그 후보로 딱 맞아떨어져서 모두가 환호하게 되었다.

이들은 미분다양체 혹은 복소다양체의 코호몰로지가 그의 특정한 sheaf에 sheaf cohomology를 적용하여 얻어질 수 있다는 것에 착안하여, topology를 일반화한 Grothendieck topology, 혹은 site 위의 sheaf를 정의한 다음 기존 sheaf cohomology와 비슷하게 이론을 전개해 나간다.

2.2.4.1 Étale Cohomology[편집]

기존 sheaf 이론에서 open embedding을 étale morphism 으로 바꾸면 된다. étale morphism 은 직관적으로 정의역의 각 점에서 접벡터들이 공역의 대응되는 접벡터와 일대일 대응이 되는 것을 가리킨다.

이 이론이 좋은 이유중 하나는 복소다양체의 코호몰로지 이론과 같은 결과를 내놓기 때문이다.

-

(Comparison Theorem)X 가 특이점이 없는 (nonsingular)[math]C [/math]-대수 다양체라 하자. 임의의 유한 가환군 [math] \Lambda [/math]에 대해 canonical 한 사상 [math]H_\mathrm{\acute{e}t}(X,\Lambda ) \to H^\mathrm{sing}(X(C),\Lambda)[/math] 는 동형사상(isomorphism)이다.

또한 Galois group과도 관련되어 위상수학과 갈루아 이론 사이의 아름다운 연관성을 보여주기도 한다.

2.2.4.2 [math]\ell[/math]-adic Cohomology[편집]

에탈 코호몰로지는 계수가 유한군에서 취해질 때만 좋은 성질을 만족하므로, 그 갭을 메꾸기 위해 다음과 같이 정의된 [math]\ell[/math]- adic cohomology를 쓴다.

[math]H(X,Z_l) = \varprojlim H_{ét}(X,Z/l^nZ)[/math]

여기서 [math]Z_l[/math]는 l-adic 정수들의 집합이다. 이 [math]\ell[/math]-adic 코호몰로지 이론은 Weil cohomology theory 가 된다!

2.2.4.3 Crystalline Cohomology[편집]

characteristic p위의 De Rham cohomology 라고 보면 된다.

위의 [math]\ell[/math]-adic 코호몰로지는 구하는 대수다양체 [math]X[/math] 가 정의된 체의 characteristic 이 [math]l[/math]과 다른 소수일 때만 "좋은" 성질들을 만족한다. 한편 다른 방향에서의 영감으로부터 발전된 Crystalline cohomology 이론은 이 characteristic과 동일한 torsion의 결과를 내놓는다. 이를 위해선 본격적으로 sheaf들의 카테고리가 만족하는 성질을 추상화한 Topos를 고려할 필요가 있다! ... 간단히 말해, 어떤 스킴 [math]X[/math] 와 그 base scheme [math]S[/math]가 있고, [math]S[/math]에 "divided power structure" 라는 것이 있을 때, open subset들은 [math](U,T,\delta)[/math] 들이다, 단 [math]U[/math][math]X[/math]의 open subset, [math]T[/math][math]U[/math]의 infinitesimal thickening, [math]\delta[/math][math]U[/math]를 자르는 [math]O_T[/math]의 ideal [math]I[/math]의 divided power structure 이다. Divided power structure란 characteristic 이 [math]p[/math]인 경우에도 [math]\frac{x^n}{n!}[/math]를 계산할 수 있게 해주는 추상적 구조이다. [math]X[/math]가 characteristic 0에서 정의되어 있을 때 위에서 divided power structure 만 제거하면, infinitesimal cohomology라 불리는 것이 되며, de Rham cohomology와 같은 결과를 내놓게 된다.

2.2.4.4 Motivic Cohomology[편집]

다양한 코호몰로지 이론을 한꺼번에 합친 절대반지 같은 존재. 보통 cohomology가 abelian category를 은유적?으로 만든다면, 이것은 scheme들의 모임 자체를 abelian category로 만들어서 motive라고 이름 붙인다.

3 왜 하지?[편집]

공간의 구멍개수 세봤자 뭐하냐는 질문이 드는 게 정상이다. 놀랍게도 호몰로지는 그 베베 꼬인 정의에 비해 아주 직관적인 정보 혹은 놀랍게도 다른 대상에 대한 정보를 알려주곤 한다.

3.1 브라우어의 고정점 정리[편집]

3.2 레프쉐츠의 고정점 정리[편집]

3.3 보르숙-울람의 정리[편집]

3.4 베유 가설[편집]

베유 가설은 어려운 정수론 문제다. 그런데 놀랍게도 대수위상수학에서 발달한 개념인 코호몰로지가 이 가설의 증명에 쓰이게 되었다.

20세기 초에 추측되던 존재인 Weil Cohomology Group이 존재한다면, 이것을 사용하여 위에서 설명한 레프쉐츠 정리처럼 기하학적으로 베유가설을 풀겠다는 가이드라인을 Weil가 제시했으며, 그로텐디크가 이 프로그램을 완성하게 된다.

베유 가설에 등장하는 해는 Frobenius 함수에 대한 고정점으로 생각할 수 있으며, 레프쉐츠 고정점 정리를 "어떤 �코호몰로지 군에" 적용하면 그 코호몰로지 군에 induce되는 trace의 alternating sum으로써 고정점의 개수, 즉 해의 개수를 찾을 수 있다는 것이 베유의 아이디어였다.

그로센디크가 찾은 그 코호몰로지 그룹이 바로 에탈 코호몰로지이다.