위상공간(topological space)은 위상이 정의된 공간(과 그 위상의 순서쌍)을 말한다. 위상공간에서는 근방만이 정의되어 있을뿐, 거리의 개념은 주어져 있지 않다.
정의
다음의 세 조건을 만족하는 집합족 [math]\displaystyle{ \mathcal T }[/math]을 위상(topology)라 하고 [math]\displaystyle{ (X,\mathcal{T}) }[/math]를 위상공간이라 한다:
- [math]\displaystyle{ \emptyset , X \in \mathcal{T} }[/math]
- 임의의 [math]\displaystyle{ i \in J }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ G_i \in \mathcal{T} }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \bigcup_{i \in I} G_i \in \mathcal{T} }[/math]이다. 즉, [math]\displaystyle{ \mathcal{T} }[/math]의 원소들의 합집합이 [math]\displaystyle{ \mathcal{T} }[/math]에 속한다. 합한 원소들이 유한, 가산일 필요는 없다.
- [math]\displaystyle{ i=1, 2, \cdots, n }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ G_i \in \mathcal{T} }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \bigcap_{i=1}^{n} G_{i} \in \mathcal{T} }[/math]이다. 즉, [math]\displaystyle{ \mathcal{T} }[/math]의 원소들의 유한 교집합이 [math]\displaystyle{ \mathcal{T} }[/math]에 속한다.
위상은 위상공간 [math]\displaystyle{ X }[/math]의 부분집합들을 모은 집합족이며 [math]\displaystyle{ \mathcal{T} }[/math]의 원소들을 열린 집합이라고 정의한다. 또한 [math]\displaystyle{ X }[/math]의 임의의 원소 [math]\displaystyle{ x }[/math]에 대하여, [math]\displaystyle{ x }[/math]의 근방(neighborhood)을 [math]\displaystyle{ x }[/math]를 포함하는 열린 집합으로 정의한다.
3번 조건은 경우에 따라 임의의 [math]\displaystyle{ G_1, G_2 \in \mathcal{T} }[/math]에 대하여 [math]\displaystyle{ G_1 \cap G_2 \in \mathcal{T} }[/math]로 표현하기도 한다. 두 개만 성립하면 이항연산에 의해 유한 개로 확장할 수 있기 때문이다.
1번 조건은 자잘한 문제가 생기는 것을 방지하기 위해서만 존재한다. 한편 2, 3번은 열린 집합을 정의하는 조건으로, 위상공간에서 중요한 역할을 한다.
위상의 종류
위상이란 결국에는 '어떤 집합이 열린집합이냐?'를 정의하는 것이다. 가장 간단하게 생각할 수 있는 것으로 실수에서 [math]\displaystyle{ (0,1), (1,2) }[/math] 같은 열린 구간을 생각할 수 있다. 이런 열린 구간들의 합집합들만 열린 집합으로 정의하는 것이 보통위상(usual topology)이다.
어떤 집합 [math]\displaystyle{ X }[/math]의 모든 부분집합 [math]\displaystyle{ P(X) }[/math]를 열린 집합으로 보는 위상을 이산위상(discrete topology)라 한다. 그렇다면 열린 집합을 공집합과 전체집합, 두 개만 정의하는 위상도 있는데 이를 비이산위상(indiscrete topology) 혹은 자명한 위상(trivial topology)라 한다.
[math]\displaystyle{ \mathcal{T}= \left\{ U \subset X | X \setminus U \right\} \cup \left\{ \emptyset \right\} }[/math]이라 하고 [math]\displaystyle{ X \setminus U }[/math]를 유한집합이라 하면 여유한위상(cofinite topology, finite complement topology)가 되고 가산집합이라 하면 여가산위상(cocountable topology, countable complement topology)라 한다. 여유한 위상은 여집합이 유한집합이면 열린집합, 여가산위상은 가산집합이면 열린집합이라 보겠다는 것이다. 기묘하게 보이는 정의겠지만 위상의 정의에 의해 조건을 맞춰보면 다 성립한다.