위상공간

위상공간(topological space)은 위상이 정의된 공간(과 그 위상의 순서쌍)을 말한다. 위상공간에서는 근방만이 정의되어 있을뿐, 거리의 개념은 주어져 있지 않다.

정의

다음의 세 조건을 만족하는 집합족 [math]\displaystyle{ \mathcal T }[/math]을 위상(topology)라 하고 [math]\displaystyle{ (X,\mathcal{T}) }[/math]를 위상공간이라 한다:

• [math]\displaystyle{ \emptyset , X \in \mathcal{T} }[/math]
• 임의의 [math]\displaystyle{ i \in J }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ G_i \in \mathcal{T} }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \bigcup_{i \in J} G_i \in \mathcal{T} }[/math]이다. 즉, [math]\displaystyle{ \mathcal{T} }[/math]의 원소들의 합집합이 [math]\displaystyle{ \mathcal{T} }[/math]에 속한다. 합한 원소들이 유한, 가산일 필요는 없다.
• [math]\displaystyle{ i=1, 2, \cdots, n }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ G_i \in \mathcal{T} }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \bigcap_{i=1}^{n} G_{i} \in \mathcal{T} }[/math]이다. 즉, [math]\displaystyle{ \mathcal{T} }[/math]의 원소들의 유한 교집합이 [math]\displaystyle{ \mathcal{T} }[/math]에 속한다.

위상은 위상공간 [math]\displaystyle{ X }[/math]의 부분집합의 위 조건을 만족하는 집합족이며 위상의 원소들을 열린 집합, 여집합이 열린 집합을 닫힌 집합이라 정의한다. 또한 [math]\displaystyle{ X }[/math]의 임의의 원소 [math]\displaystyle{ x }[/math]에 대하여, [math]\displaystyle{ x }[/math]의 근방을 [math]\displaystyle{ x }[/math]를 포함하는 임의의 열린 집합으로 정의한다. 또한 집합 [math]\displaystyle{ U }[/math]의 폐포는 [math]\displaystyle{ U }[/math]와 서로소(disjoint)인 모든 열린 집합의 여집합의 교집합으로 정의되며, 내부(interior)는 [math]\displaystyle{ U }[/math]의 모든 부분 열린집합의 합집합으로 정의된다.

위와 같이 열린 집합(또는 근방, 닫힌 집합, 폐포, 내부)이 무엇인지 정의하지 않으면 나머지는 그를 이용하여 정의할 수 있다. 나머지를 이용한 다른 (위와 동치인) 정의는 다음 단락에 서술한다.

[math]\displaystyle{ \mathcal{T} }[/math]는 경우에 따라 관심 대상이 아닌 경우도 있다. 이때는 위상을 생략하여 [math]\displaystyle{ X }[/math]로만 나타낸다.

위상의 종류

위상이란 결국에는 '어떤 집합이 열린 집합이냐?'를 정의하는 것이다. 가장 간단하게 생각할 수 있는 것으로 실수에서 [math]\displaystyle{ (0,1), (1,2) }[/math] 같은 열린 구간을 생각할 수 있다. 이런 열린 구간들의 합집합들만 열린 집합으로 정의하는 것이 보통위상(usual topology)이다.

어떤 집합 [math]\displaystyle{ X }[/math]의 멱집합 [math]\displaystyle{ \mathcal P(X) }[/math]의 원소를 모두 열린 집합으로 보는 위상을 이산위상(discrete topology)라 한다. 그렇다면 공집합과 [math]\displaystyle{ X }[/math] 두 개만을 열린 집합으로 정의하는 위상도 있는데 이를 비이산위상(indiscrete topology) 혹은 자명한 위상(trivial topology)라 한다.

위상을 [math]\displaystyle{ \mathcal{T}= \left\{ U \subset X | X \setminus U \right\} \cup \left\{ \emptyset \right\} }[/math]로 하자. 이때 [math]\displaystyle{ X \setminus U }[/math]를 유한집합이라 하면 여유한위상(cofinite topology, finite complement topology)여유로운 위상이 아니다가 되고 가산집합이라 하면 여가산위상(cocountable topology, countable complement topology)라 한다. 여유한위상은 여집합이 유한집합이면 열린 집합, 여가산위상은 가산집합이면 열린 집합이라 보겠다는 것이다. 기묘하게 보이는 정의겠지만 위상의 정의에 의해 조건을 맞춰보면 다 성립한다.