로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요!= 행렬 외적 = [[선형대수학]]에서 '''외적'''(外積, outer product)이란 [[벡터]]의 [[텐서곱]](Tensor Product)을 일컫는 말이다. 예를 들어, [[열벡터]]로 표현되는 두 벡터를 외적하게 되면 [[행렬|정사각행렬]]을 얻게 된다. 이 이름은 [[내적]](Inner Product)의 반대말에서 나왔는데, 두 벡터를 내적하면 [[스칼라]]를 얻지만, 외적하면 스칼라가 나오지 않기 때문이다. == 정의 == === 행렬에서의 정의 === 두 벡터의 외적 <math>\mathbf{u} \otimes \mathbf{v}</math>은 <math>\mathbf{u} \mathbf{v}^T</math>와 같이 두 벡터를 곱하는 것을 말한다. 여기서, <math>\mathbf{u}</math>은 실수공간 <math>\mathbf{R}^m</math>에서 정의되는 <math>m\times 1</math> [[열벡터]], <math>\mathbf{v}</math>는 <math>\mathbf{R}^n</math>에서 정의되는 <math>n \times 1</math> 열벡터를 말한다. 예를 들어, <math>m = 4</math>, <math>n = 3</math>인 경우 :<math>\mathbf{u} \otimes \mathbf{v} = \mathbf{u} \mathbf{v}^T = \begin{bmatrix}u_1 \\ u_2 \\ u_3 \\ u_4\end{bmatrix} \begin{bmatrix}v_1 & v_2 & v_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}u_1v_1 & u_1v_2 & u_1v_3 \\ u_2v_1 & u_2v_2 & u_2v_3 \\ u_3v_1 & u_3v_2 & u_3v_3 \\ u_4v_1 & u_4v_2 & u_4v_3\end{bmatrix}</math> 와 같이 외적을 쓸 수 있다. 좀 더 복잡한 복소수공간 <math>\mathbf{C}^m</math>과 <math>\mathbf{C}^n</math> 에서 정의되는 벡터의 경우, 외적은 [[전치행렬|전치연산]] <math>\mathbf{v}^T</math> 대신에 [[복소켤레전치]] <math>\mathbf{v}^\dagger</math>를 사용해 :<math>\mathbf{u} \otimes \mathbf{v} = \mathbf{u} \mathbf{v}^\dagger</math> 로 정의된다. ==== 내적과의 비교 ==== 만약 <math>m = n</math>이면 아래와 같이 전치의 순서를 바꾸어 두 열벡터를 곱할 수 있다. :<math>\left\langle \mathbf{u}, \mathbf{v}\right\rangle = \mathbf{v}^\dagger \mathbf{u}</math> 이 연산의 경우 외적과 달리 스칼라(<math>1 \times 1</math> 행렬)이 결과로 나오게 된다. 이 연산은 [[유클리드 공간]]의 [[내적]]으로 알려져 있고, [[점곱]]이라 하기도 한다. === 추상적 정의 === 주어진 벡터 <math>v \in V</math>와 [[코벡터]] <math>w^* \in W^*</math>의 텐서곱 <math>v \otimes w^*</math>은 [[동형사상]] <math>\mathrm{Hom}(W,V) = W^* \otimes V</math>하의 사상 <math>\ A\colon W \to V\,</math>을 준다. 구체적으로, 외적은 주어진 <math>w \in W</math>에 대해 :<math>A(w)\,=\,w^*(w)v</math> 로 정의된다. 여기서 <math>h>w</math>로 계산된 <math>w^*</math>로 <math>v</math>와 곱하면 스칼라를 주게 된다. 다시말하면, 외적은 <math>\ w^*\colon W \to K\,</math> 와 <math>\ v\colon K \to V\,</math> 의 합성이다. ==== 내적과의 비교 ==== 만약 <math>\ W =V\,</math>이면, 코벡터 <math>w^* \in V^*</math>와 벡터 <math>v \in V</math>를 <math>V</math>와 <math>V</math>의 [[쌍대]]의 쌍대연산 <math>(w^*,v)\mapsto w^*(v)</math> 를 통해 곱할 수 있다. 때로 이 연산은 [[내적]]이라 불리기도 한다. == 3차원 공간에서 벡터곱과의 관계 == 여기서, 굵은 글씨체의 지표는 [[추상지표표기법]]의 지표, 보통 글씨체의 지표는 [[좌표계]]의 [[성분]]을 의미한다. 3차원 [[유클리드 공간]] <math>\mathbf{R}^3</math>에서 [[직교좌표계]]의 성분으로 표현된 두 벡터 <math>w^\mathbf{a} = (w^1, w^2 ,w^3)</math>와 <math>v^\mathbf{a} = (v^1, v^2 ,v^3)</math>의 외적은 다음과 같다. :<math>w^\mathbf{a} \otimes v^\mathbf{b} = w^\mathbf{a} v^\mathbf{b}</math> 여기서, 외적에 [[호지 쌍대]](Hodge Dual)를 취하면 [[벡터곱]]이 된다. :<math>(w^\mathbf{c} \times v^\mathbf{d})^\mathbf{a} = [* \left( w^\mathbf{c} v^\mathbf{d} \right) ]^{\mathbf{a}} = g^{\mathbf{ab}} \epsilon_{\mathbf{bcd}} v^\mathbf{c} w^\mathbf{d}</math> 성분을 비교해보면 마지막 항이 벡터곱의 성분이 되는 것을 볼 수 있다. 유클리드 공간의 경우, <math>g^{\mathbf{ab}} = \delta^{\mathbf{ab}}</math>이므로 (이 [[계량]]의 성분은 [[크로네커 델타]].) 이를 간단히 전개해보면, :<math>\begin{align} g^{\mathbf{ab}} \epsilon_{\mathbf{bcd}} v^\mathbf{c} w^\mathbf{d} & = \delta^{\mathbf{ab}} \epsilon_{\mathbf{bcd}} v^\mathbf{c} w^\mathbf{d} \\ & = \delta^{\mathbf{ab}} \left( \epsilon_{123} e^1_\mathbf{b} \wedge e^2_\mathbf{c} \wedge e^3_\mathbf{d} \right) v^\mathbf{c} w^\mathbf{d} \end{align}</math> 여기서 <math>e^1_\mathbf{b} \wedge e^2_\mathbf{c} \wedge e^3_\mathbf{d}</math>를 전개하면 항이 6개가 나오고, bcd의 순열 순서에 따라 각 항의 부호가 결정되게 된다. 즉, :<math> e^1_\mathbf{b} \wedge e^2_\mathbf{c} \wedge e^3_\mathbf{d} = e^1_\mathbf{b} e^2_\mathbf{c}e^3_\mathbf{d} + e^1_\mathbf{c} e^2_\mathbf{d}e^3_\mathbf{b} + e^1_\mathbf{d} e^2_\mathbf{b}e^3_\mathbf{c} - e^1_\mathbf{d} e^2_\mathbf{c}e^3_\mathbf{b} - e^1_\mathbf{b} e^2_\mathbf{d}e^3_\mathbf{c} - e^1_\mathbf{c} e^2_\mathbf{b}e^3_\mathbf{d} </math> 이다. 그리고 여기에 <math>v^\mathbf{c} w^\mathbf{d}</math>를 곱하면 :<math> ( e^1_\mathbf{b} \wedge e^2_\mathbf{c} \wedge e^3_\mathbf{d} ) v^\mathbf{c} w^\mathbf{d} = e^1_\mathbf{b} (v^2 w^3 - v^3 w^2 ) + e^2_\mathbf{b} (v^3 w^1 - v^1 w^3 ) + e^3_\mathbf{b} (v^1 w^2 - v^2 w^1 ) </math> 되고 마지막으로 <math>\delta^{\mathbf{ab}} \epsilon_{123}</math>을 곱하면 :<math>g^{\mathbf{ab}} \epsilon_{\mathbf{bcd}} v^\mathbf{c} w^\mathbf{d} = e_1^\mathbf{b} (v^2 w^3 - v^3 w^2 ) + e_2^\mathbf{b} (v^3 w^1 - v^1 w^3 ) + e_3^\mathbf{b} (v^1 w^2 - v^2 w^1 ) </math> 이 된다. 보다시피 벡터곱의 성분 표현을 얻을 수 있다. 때문에 이 벡터곱을 외적이라 부르기도 한다. {{퍼온문서|외적|20844174|일부}} [[분류:선형대수학]] [[분류:추상대수학]] [[분류:이항연산]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서는 다음의 숨은 분류 1개에 속해 있습니다: 분류:퍼온 문서