외적

외적(外積)은 아래와 같이 두 가지의 의미를 모두 가지는 용어이다. 고등학교 과정에서는 주로 첫 번째 정의인 벡터곱(Cross Product)을 사용하지만 선형대수학에서는 아래와 같은 텐서곱으로 유도되는 행렬(Outer Product)을 의미하기 때문에 한국어로 번역할 경우 어느 것인지를 분명히 설명해야 한다. 이 문서에서는 행렬 외적에 대해 주로 설명한다.

벡터곱

이와 관련한 내용은 벡터곱에서 볼 수 있습니다.

행렬 외적

선형대수학에서 외적(外積, outer product)이란 벡터의 텐서곱(Tensor Product)을 일컫는 말이다. 예를 들어, 열벡터로 표현되는 두 벡터를 외적하게 되면 정사각행렬을 얻게 된다. 이 이름은 내적(Inner Product)의 반대말에서 나왔는데, 두 벡터를 내적하면 스칼라를 얻지만, 외적하면 스칼라가 나오지 않기 때문이다.

정의

행렬에서의 정의

두 벡터의 외적 [math]\displaystyle{ \mathbf{u} \otimes \mathbf{v} }[/math]은 [math]\displaystyle{ \mathbf{u} \mathbf{v}^T }[/math]와 같이 두 벡터를 곱하는 것을 말한다. 여기서, [math]\displaystyle{ \mathbf{u} }[/math]은 실수공간 [math]\displaystyle{ \mathbf{R}^m }[/math]에서 정의되는 [math]\displaystyle{ m\times 1 }[/math] 열벡터, [math]\displaystyle{ \mathbf{v} }[/math]는 [math]\displaystyle{ \mathbf{R}^n }[/math]에서 정의되는 [math]\displaystyle{ n \times 1 }[/math] 열벡터를 말한다. 예를 들어, [math]\displaystyle{ m = 4 }[/math], [math]\displaystyle{ n = 3 }[/math]인 경우

[math]\displaystyle{ \mathbf{u} \otimes \mathbf{v} = \mathbf{u} \mathbf{v}^T = \begin{bmatrix}u_1 \\ u_2 \\ u_3 \\ u_4\end{bmatrix} \begin{bmatrix}v_1 & v_2 & v_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}u_1v_1 & u_1v_2 & u_1v_3 \\ u_2v_1 & u_2v_2 & u_2v_3 \\ u_3v_1 & u_3v_2 & u_3v_3 \\ u_4v_1 & u_4v_2 & u_4v_3\end{bmatrix} }[/math]

와 같이 외적을 쓸 수 있다.

좀 더 복잡한 복소수공간 [math]\displaystyle{ \mathbf{C}^m }[/math]과 [math]\displaystyle{ \mathbf{C}^n }[/math] 에서 정의되는 벡터의 경우, 외적은 전치연산 [math]\displaystyle{ \mathbf{v}^T }[/math] 대신에 복소켤레전치 [math]\displaystyle{ \mathbf{v}^\dagger }[/math]를 사용해

[math]\displaystyle{ \mathbf{u} \otimes \mathbf{v} = \mathbf{u} \mathbf{v}^\dagger }[/math]

로 정의된다.

내적과의 비교

만약 [math]\displaystyle{ m = n }[/math]이면 아래와 같이 전치의 순서를 바꾸어 두 열벡터를 곱할 수 있다.

[math]\displaystyle{ \left\langle \mathbf{u}, \mathbf{v}\right\rangle = \mathbf{v}^\dagger \mathbf{u} }[/math]

이 연산의 경우 외적과 달리 스칼라([math]\displaystyle{ 1 \times 1 }[/math] 행렬)이 결과로 나오게 된다. 이 연산은 유클리드 공간의 내적으로 알려져 있고, 점곱이라 하기도 한다.

추상적 정의

주어진 벡터 [math]\displaystyle{ v \in V }[/math]와 코벡터 [math]\displaystyle{ w^* \in W^* }[/math]의 텐서곱 [math]\displaystyle{ v \otimes w^* }[/math]은 동형사상 [math]\displaystyle{ \mathrm{Hom}(W,V) = W^* \otimes V }[/math]하의 사상 [math]\displaystyle{ \ A\colon W \to V\, }[/math]을 준다.

구체적으로, 외적은 주어진 [math]\displaystyle{ w \in W }[/math]에 대해

[math]\displaystyle{ A(w)\,=\,w^*(w)v }[/math]

로 정의된다. 여기서 [math]\displaystyle{ h\gt w }[/math]로 계산된 [math]\displaystyle{ w^* }[/math]로 [math]\displaystyle{ v }[/math]와 곱하면 스칼라를 주게 된다.

다시말하면, 외적은 [math]\displaystyle{ \ w^*\colon W \to K\, }[/math] 와 [math]\displaystyle{ \ v\colon K \to V\, }[/math] 의 합성이다.

내적과의 비교

만약 [math]\displaystyle{ \ W =V\, }[/math]이면, 코벡터 [math]\displaystyle{ w^* \in V^* }[/math]와 벡터 [math]\displaystyle{ v \in V }[/math]를 [math]\displaystyle{ V }[/math]와 [math]\displaystyle{ V }[/math]의 쌍대의 쌍대연산 [math]\displaystyle{ (w^*,v)\mapsto w^*(v) }[/math] 를 통해 곱할 수 있다. 때로 이 연산은 내적이라 불리기도 한다.

3차원 공간에서 벡터곱과의 관계

여기서, 굵은 글씨체의 지표는 추상지표표기법의 지표, 보통 글씨체의 지표는 좌표계의 성분을 의미한다.

3차원 유클리드 공간 [math]\displaystyle{ \mathbf{R}^3 }[/math]에서 직교좌표계의 성분으로 표현된 두 벡터 [math]\displaystyle{ w^\mathbf{a} = (w^1, w^2 ,w^3) }[/math]와 [math]\displaystyle{ v^\mathbf{a} = (v^1, v^2 ,v^3) }[/math]의 외적은 다음과 같다.

[math]\displaystyle{ w^\mathbf{a} \otimes v^\mathbf{b} = w^\mathbf{a} v^\mathbf{b} }[/math]

여기서, 외적에 호지 쌍대(Hodge Dual)를 취하면 벡터곱이 된다.

[math]\displaystyle{ (w^\mathbf{c} \times v^\mathbf{d})^\mathbf{a} = [* \left( w^\mathbf{c} v^\mathbf{d} \right) ]^{\mathbf{a}} = g^{\mathbf{ab}} \epsilon_{\mathbf{bcd}} v^\mathbf{c} w^\mathbf{d} }[/math]

성분을 비교해보면 마지막 항이 벡터곱의 성분이 되는 것을 볼 수 있다. 유클리드 공간의 경우, [math]\displaystyle{ g^{\mathbf{ab}} = \delta^{\mathbf{ab}} }[/math]이므로 (이 계량의 성분은 크로네커 델타.) 이를 간단히 전개해보면,

[math]\displaystyle{ \begin{align} g^{\mathbf{ab}} \epsilon_{\mathbf{bcd}} v^\mathbf{c} w^\mathbf{d} & = \delta^{\mathbf{ab}} \epsilon_{\mathbf{bcd}} v^\mathbf{c} w^\mathbf{d} \\ & = \delta^{\mathbf{ab}} \left( \epsilon_{123} e^1_\mathbf{b} \wedge e^2_\mathbf{c} \wedge e^3_\mathbf{d} \right) v^\mathbf{c} w^\mathbf{d} \end{align} }[/math]

여기서 [math]\displaystyle{ e^1_\mathbf{b} \wedge e^2_\mathbf{c} \wedge e^3_\mathbf{d} }[/math]를 전개하면 항이 6개가 나오고, bcd의 순열 순서에 따라 각 항의 부호가 결정되게 된다. 즉,

[math]\displaystyle{ e^1_\mathbf{b} \wedge e^2_\mathbf{c} \wedge e^3_\mathbf{d} = e^1_\mathbf{b} e^2_\mathbf{c}e^3_\mathbf{d} + e^1_\mathbf{c} e^2_\mathbf{d}e^3_\mathbf{b} + e^1_\mathbf{d} e^2_\mathbf{b}e^3_\mathbf{c} - e^1_\mathbf{d} e^2_\mathbf{c}e^3_\mathbf{b} - e^1_\mathbf{b} e^2_\mathbf{d}e^3_\mathbf{c} - e^1_\mathbf{c} e^2_\mathbf{b}e^3_\mathbf{d} }[/math]

이다. 그리고 여기에 [math]\displaystyle{ v^\mathbf{c} w^\mathbf{d} }[/math]를 곱하면

[math]\displaystyle{ ( e^1_\mathbf{b} \wedge e^2_\mathbf{c} \wedge e^3_\mathbf{d} ) v^\mathbf{c} w^\mathbf{d} = e^1_\mathbf{b} (v^2 w^3 - v^3 w^2 ) + e^2_\mathbf{b} (v^3 w^1 - v^1 w^3 ) + e^3_\mathbf{b} (v^1 w^2 - v^2 w^1 ) }[/math]

되고 마지막으로 [math]\displaystyle{ \delta^{\mathbf{ab}} \epsilon_{123} }[/math]을 곱하면

[math]\displaystyle{ g^{\mathbf{ab}} \epsilon_{\mathbf{bcd}} v^\mathbf{c} w^\mathbf{d} = e_1^\mathbf{b} (v^2 w^3 - v^3 w^2 ) + e_2^\mathbf{b} (v^3 w^1 - v^1 w^3 ) + e_3^\mathbf{b} (v^1 w^2 - v^2 w^1 ) }[/math]

이 된다. 보다시피 벡터곱의 성분 표현을 얻을 수 있다. 때문에 이 벡터곱을 외적이라 부르기도 한다.

이 문서의 일부는 한국어 위키백과의 외적 문서 20844174판을 원출처로 합니다.