오일러-라그랑주 방정식

오일러-라그랑주 방정식(Euler-Lagrange equation), 또는 오일러 방정식(Euler's equation)은 1744년 레온하르트 오일러가 처음으로 유도한 방정식이다. [math]\displaystyle{ f,y,y' }[/math]에 대해

[math]\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y'}=0 }[/math]

인 것은 적분

[math]\displaystyle{ J=\int_{x_1}^{x_2}f\{y(x),y'(x);x\}dx }[/math]

가 극값을 가질 필요조건이다.

유도

정적분

[math]\displaystyle{ J=\int_{x_1}^{x_2}f\{y(x),y'(x);x\}dx }[/math]

에 대해 [math]\displaystyle{ y=y(x) }[/math]일 때 J가 극값을 가진다면, [math]\displaystyle{ \alpha=0 }[/math]일 때 J가 극값을 가지도록

[math]\displaystyle{ y(\alpha,x)=y(0,x)+\alpha\eta(x) }[/math]

를 정의할 수 있다. 그러면 J를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

[math]\displaystyle{ J=\int_{x_1}^{x_2}f\{y(\alpha,x),y'(\alpha,x);x\}dx }[/math]

양변을 α에 대해 편미분하면,

[math]\displaystyle{ \frac{\partial J}{\partial \alpha}=\frac{\partial}{\partial \alpha}\int_{x_1}^{x_2}f\{y(\alpha,x),y'(\alpha,x);x\}dx }[/math]

이고 따라서

[math]\displaystyle{ \frac{\partial J}{\partial \alpha}=\int_{x_1}^{x_2}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \alpha}+\frac{\partial f}{\partial y'}\frac{\partial y'}{\partial \alpha}\right)dx }[/math]

이다. 그러면

[math]\displaystyle{ \frac{\partial y}{\partial \alpha}=\eta(x),\;\frac{\partial y'}{\partial \alpha}=\frac{d\eta}{dx} }[/math]

이므로

[math]\displaystyle{ \frac{\partial J}{\partial \alpha}=\int_{x_1}^{x_2}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\eta(x)+\frac{\partial f}{\partial y'}\frac{d\eta}{dx}\right)dx }[/math]

이다. 이때 부분적분법에 의해

[math]\displaystyle{ \begin{align} \int_{x_1}^{x_2}\frac{\partial f}{\partial y'}\frac{d\eta}{dx}dx&=\left[\frac{\partial f}{\partial y'}\eta(x)\right]_{x_1}^{x_2}-\int_{x_1}^{x_2}\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial f}{\partial y'}\right)\eta(x)dx\\ &=-\int_{x_1}^{x_2}\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial f}{\partial y'}\right)\eta(x)dx \end{align} }[/math]

이므로

[math]\displaystyle{ \begin{align} \frac{\partial J}{\partial \alpha}&=\int_{x_1}^{x_2}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\eta(x)-\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial f}{\partial y'}\right)\eta(x)\right)\\ &=\int_{x_1}^{x_2}\left(\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y'}\right)\eta(x)dx \end{align} }[/math]

그러면 임의의 [math]\displaystyle{ \eta }[/math]에 대해

[math]\displaystyle{ 0=\frac{\partial J}{\partial \alpha}\bigg|_{\alpha=0}=\int_{x_1}^{x_2}\left(\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y'}\right)\eta(x)dx }[/math]

이므로,

[math]\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y'}=0 }[/math]

을 얻는다.

예

최속강하선 문제

[math]\displaystyle{ (0,0) }[/math]의 위치에 정지해 있는 입자가 중력을 받고 마찰없이 [math]\displaystyle{ (x_1,y_1) }[/math]로 내려간다고 가정하자. 그러면 입자가 이동한 시간 T는

[math]\displaystyle{ T=\int_{(0,0)}^{(x_1,y_1)}\frac{ds}{v} }[/math]

로 주어진다. 이때 퍼텐셜에너지가 [math]\displaystyle{ (0,0) }[/math]에서 0이라고 가정하면, 역학적 에너지는 0이고 보존되므로

[math]\displaystyle{ mgy+\frac{1}{2}mv^2=0 }[/math]

이다. 따라서

[math]\displaystyle{ v=\sqrt{-2gy} }[/math]

이다. 그러면

[math]\displaystyle{ T=\frac{1}{\sqrt{-2g}}\int_0^{y_1}\sqrt{\frac{1+(\frac{dx}{dy})^2}{y}}dy }[/math]

이다. 이제 함수 f를

[math]\displaystyle{ f\{x(y),x'(y);y\}=\sqrt{\frac{1+x'^2}{y}} }[/math]

로 정의하자. 이때

[math]\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x}=0 }[/math]

이므로 오일러-라그랑주 방정식은

[math]\displaystyle{ \frac{d}{dy}\frac{\partial f}{\partial x'}=0 }[/math]

이다. 따라서

[math]\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x'}=\frac{x'}{\sqrt{y(1+x'^2)}}=c }[/math]

이다. 이때 c는 상수다. 양변을 제곱해 정리하면

[math]\displaystyle{ x'^2=\frac{c^2y}{1-c^2y} }[/math]

이므로,

[math]\displaystyle{ x=\int \sqrt{\frac{c^2y}{1-c^2y}}dy }[/math]

이다. 이때

[math]\displaystyle{ y=\frac{1}{2c^2}(1-\cos\theta) }[/math]

로 치환하면

[math]\displaystyle{ x=\frac{1}{2c^2}(\theta-\sin\theta) }[/math]

가 되고, 이 곡선은 사이클로이드이다.

측지선

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일반화

함수가 여러 개일 때

적분

[math]\displaystyle{ J=\int_{x_1}^{x_2}f\{y_1,y'_1,y_2,y'_2,\cdots,\cdots,;x\} }[/math]

가 주어졌을 때 오일러-라그랑주 방정식은

[math]\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial y_i}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y'_i}=0 }[/math]

으로 주어진다.

변수가 여러 개일 때

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구속조건이 주어졌을 때

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