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'''역함수 정리'''(Inverse function theorem) | |||
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=== 진술 === | === 진술 === | ||
<math>f:A\to \mathbb{R}</math>이 <math>a</math>에서 미분가능하고 <math>f'(a)\ne 0</math>이면 | |||
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=== 진술 === | === 진술 === | ||
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<math>A\subseteq \mathbb{R}^n</math>를 열린 집합, <math>f:A\to \mathbb{R}^n</math>을 미분가능하고 도함수가 연속인 함수라고 하자. <math>Df(\mathbf{x})</math>가 <math>\mathbf{a}</math>에서 가역이면, <math>a</math>의 근방 <math>U</math>가 존재해, <math>f</math>를 <math>U</math>에서 열린 집합 <math>V=f(U)</math>로 옮기는 함수로 간주하면 <math>f</math>가 일대일 대응이고, 역함수 또한 미분가능하고 도함수가 연속이다. | |||
=== 증명 === | === 증명 === | ||
영어 | [[영어 위키백과]]엔 증명이 나와 있지 않고, 증명에 이용될 수 있는 다른 정리를 소개한다. [[바나흐 고정점 정리]], [[최대·최소 정리]], [[뉴턴의 방법]] 등을 이용할 수 있다고 하는데 하나같이 만만한 게 없다. 아래에 소개할 증명도 보조정리가 덕지덕지 붙는 등 간단하지 않으니 무리하지 말고 찬찬히 읽어보거나 패스하도록 하자. | ||
==== 보조정리 1 ==== | ==== 보조정리 1 ==== | ||
{{인용문|<math>\|\cdot\|_V,\|\cdot\|_M</math>를 각각 | {{인용문|<math>\|\cdot\|_V,\|\cdot\|_M</math>를 각각 | ||
: <math>\|\mathbf{x}\|_V=\sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}</math> | : <math>\|\mathbf{x}\|_V=\sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}</math> | ||
: <math>\|A\|_M=\sqrt{\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}^2}</math> | : <math>\|A\|_M=\sqrt{\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}^2}</math> | ||
로 정의된 [[ | 로 정의된 [[노름]] 및 [[행렬 노름]]이라고 하자. 그러면 실수 성분을 가지는 n차 정사각행렬 <math>A</math>와 <math>x\in \mathbb{R}^n</math>에 대해 | ||
: <math>\|A\mathbf{x}\|_V\le \|A\|_M\|x\|_V</math> | : <math>\|A\mathbf{x}\|_V\le \|A\|_M\|x\|_V</math> | ||
이다.}} | 이다.}} | ||
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이다. [[코시-슈바르츠 부등식]]에 의해 | 이다. [[코시-슈바르츠 부등식]]에 의해 | ||
: <math>\begin{align} | : <math>\begin{align} | ||
(a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n)^2&\le (a_{11}^2+a_{12}^2+\cdots+a_{1n}^2)(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)\ | (a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n)^2&\le (a_{11}^2+a_{12}^2+\cdots+a_{1n}^2)(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)\<math>a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n)^2&\le (a_{21}^2+a_{22}^2+\cdots+a_{2n}^2)(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)\\ | ||
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이므로 원하는 결론을 얻는다. | 이므로 원하는 결론을 얻는다. | ||
==== 보조정리 2 ==== | ==== 보조정리 2 ==== | ||
{{인용문| | {{인용문|<math>A\subseteq \mathbb{R}^n</math>를 열린 집합, <math>f:A\to \mathbb{R}^n</math>을 한 번 미분가능하고 도함수가 연속인 함수라고 하자. 만약 <math>Df(\mathbf{a})</math>가 가역이면 어떤 [[공 (수학)|공]] <math>B(\mathbf{a},\epsilon)</math>에서 임의의 <math>\mathbf{x}_0,\mathbf{x}_1\in B(\mathbf{a},\epsilon)</math>에 대해 부등식 | ||
: <math>\|f(\mathbf{x}_1)-f(\mathbf{x}_0)\| \ge \alpha\|\mathbf{x}_1-\mathbf{x_0}\|</math> | : <math>\|f(\mathbf{x}_1)-f(\mathbf{x}_0)\| \ge \alpha\|\mathbf{x}_1-\mathbf{x_0}\|</math> | ||
을 만족하는 | 을 만족하는 <math>\alpha>0</math>가 존재한다. 더욱이 <math>f</math>는 <math>B(\mathbf{a},\epsilon)</math>에서 일대일 함수이다.}} | ||
<math>Df(\mathbf{a})</math>가 가역이므로 <math>[Df(\mathbf{a})]^{-1}</math>이 존재한다. 임의의 <math>\mathbf{x}_0,\mathbf{x}_1</math>에 대해 [[#보조정리 1|보조정리 1]]에 의해 | |||
: <math>\|\mathbf{x}_1-\mathbf{x}_0\| = \|[Df(\mathbf{a})]^{-1}(Df(\mathbf{a})\mathbf{x}_1-Df(\mathbf{a})\mathbf{x}_0)\|\le \|[Df(\mathbf{a})]^{-1}\|\|Df(\mathbf{a})\mathbf{x}_1-Df(\mathbf{a})\mathbf{x}_0\|</math> | : <math>\|\mathbf{x}_1-\mathbf{x}_0\| = \|[Df(\mathbf{a})]^{-1}(Df(\mathbf{a})\mathbf{x}_1-Df(\mathbf{a})\mathbf{x}_0)\|\le \|[Df(\mathbf{a})]^{-1}\|\|Df(\mathbf{a})\mathbf{x}_1-Df(\mathbf{a})\mathbf{x}_0\|</math> | ||
이다. 이때 | 이다. 이때 | ||
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로 두자. 이제 함수 | 로 두자. 이제 함수 <math>g</math>를 | ||
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이므로 | 이므로 | ||
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이다. | 이다. <math>Dg</math>가 연속이므로 어떤 공 <math>B(\mathbf{a},\epsilon)</math>에서 | ||
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{{인용문|함수 | {{인용문|함수 <math>f:A\to\mathbb{R}</math>이 미분가능하고 <math>f</math>가 <math>\mathbf{x}_0\in A</math>에서 극소점을 가지면 | ||
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이다.}} | 이다.}} | ||
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이다. 그러면 영이 아닌 | 이다. 그러면 영이 아닌 <math>\mathbf{u}</math>가 주어졌을 때, 충분히 작은 <math>t\in \mathbb{R}</math>에 대해 | ||
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이다. 이때 | 이다. 이때 <math>\mathbf{x}_0</math>에서 <math>\mathbf{u}</math>에 대한 <math>f</math>의 [[방향도함수]] <math>f(\mathbf{x}_0;\mathbf{u})</math>는 | ||
: <math>f(\mathbf{x}_0;\mathbf{u})=\lim_{t\to 0}\frac{f(\mathbf{x}_0+t\mathbf{u})-f(\mathbf{x}_0)}{t}</math> | : <math>f(\mathbf{x}_0;\mathbf{u})=\lim_{t\to 0}\frac{f(\mathbf{x}_0+t\mathbf{u})-f(\mathbf{x}_0)}{t}</math> | ||
인데, | 인데, | ||
: <math>\lim_{t\to +0}\frac{f(\mathbf{x}_0+t\mathbf{u})-f(\mathbf{x}_0)}{t}\ge 0</math> | : <math>\lim_{t\to +0}\frac{f(\mathbf{x}_0+t\mathbf{u})-f(\mathbf{x}_0)}{t}\ge 0</math> | ||
: <math>\lim_{t\to -0}\frac{f(\mathbf{x}_0+t\mathbf{u})-f(\mathbf{x}_0)}{t}\le 0</math> | : <math>\lim_{t\to -0}\frac{f(\mathbf{x}_0+t\mathbf{u})-f(\mathbf{x}_0)}{t}\le 0</math> | ||
이고 | 이고 <math>f(\mathbf{x}_0;\mathbf{u})</math>가 존재하므로 | ||
: <math>f(\mathbf{x}_0;\mathbf{u})=0</math> | : <math>f(\mathbf{x}_0;\mathbf{u})=0</math> | ||
이다. | 이다. <math>\mathbf{u}</math>가 임의의 값을 가지므로 | ||
: <math>D_jf(\mathbf{x}_0)=\mathbf{0}</math> | : <math>D_jf(\mathbf{x}_0)=\mathbf{0}</math> | ||
이고 따라서 원하는 결론을 얻는다. | 이고 따라서 원하는 결론을 얻는다. | ||
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==== 진술 1 ==== | |||
이제 드디어 본 증명으로 넘어갈 차례가 되었다. 보조정리를 보는 동안 원래 진술이 뭐였는지 까먹었다면 [[#진술|진술]] 문단으로 가서 다시 보고 오자. [[#보조정리 1|보조정리 1]]에서 <math>f</math>가 일대일 함수가 되도록 하는 <math>\mathbf{a}</math>의 근방<math>U_0</math>이 존재한다. 한편 <math>\det Df(\mathbf{x}</math>이 연속함수이므로 <math>Df(\mathbf{x})\ne 0</math>인 <math>\mathbf{a}</math>의 근방 <math>U_1</math>이 존재한다.<!-- 불완전한 서술 --> | |||
<!-- ==== 진술 2 ==== | |||
==== 진술 3 ==== | |||
추가예정 --> | |||
== 같이 보기 == | == 같이 보기 == | ||
* [[음함수 정리]] | * [[음함수 정리]] | ||
== 참고문헌 == | == 참고문헌 == | ||
* Munkres, J. (1991). ''Analysis on Manifolds''. Redwood City, Calif.: Addison-Wesley Pub., Advanced Book Program. ISBN 0201510359 | * Munkres, J. (1991). ''Analysis on Manifolds''. Redwood City, Calif.: Addison-Wesley Pub., Advanced Book Program. {{ISBN|0201510359}} | ||
[[분류:해석학]] | [[분류:해석학]] | ||
[[분류:미적분학]] | [[분류:미적분학]] | ||
[[분류:수학 정리]] | [[분류:수학 정리]] |
2021년 5월 18일 (화) 19:10 기준 최신판
역함수 정리(Inverse function theorem)
일변수함수에서[편집 | 원본 편집]
진술[편집 | 원본 편집]
[math]\displaystyle{ f:A\to \mathbb{R} }[/math]이 [math]\displaystyle{ a }[/math]에서 미분가능하고 [math]\displaystyle{ f'(a)\ne 0 }[/math]이면
- [math]\displaystyle{ (f^{-1})'(a)=\frac{1}{f'(f^{-1}(a))} }[/math]
증명[편집 | 원본 편집]
다변수함수에서[편집 | 원본 편집]
진술[편집 | 원본 편집]
[math]\displaystyle{ A\subseteq \mathbb{R}^n }[/math]를 열린 집합, [math]\displaystyle{ f:A\to \mathbb{R}^n }[/math]을 미분가능하고 도함수가 연속인 함수라고 하자. [math]\displaystyle{ Df(\mathbf{x}) }[/math]가 [math]\displaystyle{ \mathbf{a} }[/math]에서 가역이면, [math]\displaystyle{ a }[/math]의 근방 [math]\displaystyle{ U }[/math]가 존재해, [math]\displaystyle{ f }[/math]를 [math]\displaystyle{ U }[/math]에서 열린 집합 [math]\displaystyle{ V=f(U) }[/math]로 옮기는 함수로 간주하면 [math]\displaystyle{ f }[/math]가 일대일 대응이고, 역함수 또한 미분가능하고 도함수가 연속이다.
증명[편집 | 원본 편집]
영어 위키백과엔 증명이 나와 있지 않고, 증명에 이용될 수 있는 다른 정리를 소개한다. 바나흐 고정점 정리, 최대·최소 정리, 뉴턴의 방법 등을 이용할 수 있다고 하는데 하나같이 만만한 게 없다. 아래에 소개할 증명도 보조정리가 덕지덕지 붙는 등 간단하지 않으니 무리하지 말고 찬찬히 읽어보거나 패스하도록 하자.
보조정리 1[편집 | 원본 편집]
“ [math]\displaystyle{ \|\cdot\|_V,\|\cdot\|_M }[/math]를 각각
- [math]\displaystyle{ \|\mathbf{x}\|_V=\sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \|A\|_M=\sqrt{\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}^2} }[/math]
로 정의된 노름 및 행렬 노름이라고 하자. 그러면 실수 성분을 가지는 n차 정사각행렬 [math]\displaystyle{ A }[/math]와 [math]\displaystyle{ x\in \mathbb{R}^n }[/math]에 대해
이다.
- [math]\displaystyle{ \|A\mathbf{x}\|_V\le \|A\|_M\|x\|_V }[/math]
“
- [math]\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} a_{ij} \end{bmatrix}, \mathbf{x}=\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{bmatrix} }[/math]
로 두면
- [math]\displaystyle{ A\mathbf{x}=\begin{bmatrix} \sum_{j=1}^n a_{ij}x_j \end{bmatrix} }[/math]
이고 따라서
- [math]\displaystyle{ \|A\mathbf{x}\|_V=\sqrt{\sum_{i=1}^n \left(\sum_{j=1}^n a_{ij}x_j\right)^2} }[/math]
이다. 코시-슈바르츠 부등식에 의해
- [math]\displaystyle{ \begin{align} (a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n)^2&\le (a_{11}^2+a_{12}^2+\cdots+a_{1n}^2)(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)\\lt math\gt a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n)^2&\le (a_{21}^2+a_{22}^2+\cdots+a_{2n}^2)(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)\\ &\vdots\\ (a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n)^2&\le (a_{n1}^2+a_{n2}^2+\cdots+a_{nn}^2)(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2) \end{align} }[/math]
이므로 양변끼리 모두 더해주면
- [math]\displaystyle{ \|A\mathbf{x}\|_V^2=\|A\|_M^2\|\mathbf{x}\|_V^2 }[/math]
이므로 원하는 결론을 얻는다.
보조정리 2[편집 | 원본 편집]
“ [math]\displaystyle{ A\subseteq \mathbb{R}^n }[/math]를 열린 집합, [math]\displaystyle{ f:A\to \mathbb{R}^n }[/math]을 한 번 미분가능하고 도함수가 연속인 함수라고 하자. 만약 [math]\displaystyle{ Df(\mathbf{a}) }[/math]가 가역이면 어떤 공 [math]\displaystyle{ B(\mathbf{a},\epsilon) }[/math]에서 임의의 [math]\displaystyle{ \mathbf{x}_0,\mathbf{x}_1\in B(\mathbf{a},\epsilon) }[/math]에 대해 부등식
을 만족하는 [math]\displaystyle{ \alpha\gt 0 }[/math]가 존재한다. 더욱이 [math]\displaystyle{ f }[/math]는 [math]\displaystyle{ B(\mathbf{a},\epsilon) }[/math]에서 일대일 함수이다.
- [math]\displaystyle{ \|f(\mathbf{x}_1)-f(\mathbf{x}_0)\| \ge \alpha\|\mathbf{x}_1-\mathbf{x_0}\| }[/math]
“
[math]\displaystyle{ Df(\mathbf{a}) }[/math]가 가역이므로 [math]\displaystyle{ [Df(\mathbf{a})]^{-1} }[/math]이 존재한다. 임의의 [math]\displaystyle{ \mathbf{x}_0,\mathbf{x}_1 }[/math]에 대해 보조정리 1에 의해
- [math]\displaystyle{ \|\mathbf{x}_1-\mathbf{x}_0\| = \|[Df(\mathbf{a})]^{-1}(Df(\mathbf{a})\mathbf{x}_1-Df(\mathbf{a})\mathbf{x}_0)\|\le \|[Df(\mathbf{a})]^{-1}\|\|Df(\mathbf{a})\mathbf{x}_1-Df(\mathbf{a})\mathbf{x}_0\| }[/math]
이다. 이때
- [math]\displaystyle{ \alpha=\frac{1}{2\|[Df(\mathbf{a})]^{-1}\|} }[/math]
로 두자. 이제 함수 [math]\displaystyle{ g }[/math]를
- [math]\displaystyle{ g(\mathbf{x})=f(\mathbf{x})-Df(\mathbf{a})\mathbf{x} }[/math]
로 정의하자. 그러면
- [math]\displaystyle{ Dg(\mathbf{x})=Df(\mathbf{x})-Df(\mathbf{a}) }[/math]
이므로
- [math]\displaystyle{ Dg(\mathbf{a})=0 }[/math]
이다. [math]\displaystyle{ Dg }[/math]가 연속이므로 어떤 공 [math]\displaystyle{ B(\mathbf{a},\epsilon) }[/math]에서
- [math]\displaystyle{ \|Dg(\mathbf{x})\| \lt \frac{\alpha}{\sqrt{n}} }[/math]
인 [math]\displaystyle{ \epsilon\gt 0 }[/math]이 존재한다. [math]\displaystyle{ g=(g_1,g_2,\cdots,g_n) }[/math]라 하면 평균값의 정리에 의해
- [math]\displaystyle{ g_i(\mathbf{x}_1)-g_i(\mathbf{x}_0)=Dg_i(\mathbf{c})(\mathbf{x}_1-\mathbf{x}_0) }[/math]
인 [math]\displaystyle{ \mathbf{c}\in B(\mathbf{a},\epsilon) }[/math]가 존재한다. 따라서 보조정리 1에 의해
- [math]\displaystyle{ |g_i(\mathbf{x}_1)-g_i(\mathbf{x}_0)| \le \frac{\alpha}{\sqrt{n}} \|\mathbf{x}_1-\mathbf{x}_0\| }[/math]
이고
- [math]\displaystyle{ \|g(\mathbf{x}_1)-g(\mathbf{x}_0)\|=\sqrt{\sum_{i=1}^n |g_i(\mathbf{x}_1)-g_i(\mathbf{x}_0)|^2}\le \sqrt{\sum_{i=1}^n \frac{\alpha^2}{n} \|\mathbf{x}_1-\mathbf{x}_0\|^2} \le \alpha\|\mathbf{x}_1-\mathbf{x}_0\| }[/math]
이다. 따라서
- [math]\displaystyle{ \begin{align} \alpha\|\mathbf{x}_1-\mathbf{x}_0\| &\ge \|g(\mathbf{x}_1)-g(\mathbf{x}_0)\|\\ &=\|f(\mathbf{x}_1)-Df(\mathbf{a})\mathbf{x}_1-f(\mathbf{x}_0)+Df(\mathbf{a})\mathbf{x}_0\|\\ &\ge \|Df(\mathbf{a})\mathbf{x}_1-Df(\mathbf{a})\mathbf{x}_0\|-\|f(\mathbf{x}_1)-f(\mathbf{x}_0)\|\\ &\ge 2\alpha\|\mathbf{x}_1-\mathbf{x}_0\|-\|f(\mathbf{x}_1)-f(\mathbf{x}_0)\| \end{align} }[/math]
이므로 원하는 결론을 얻는다.
보조정리 3[편집 | 원본 편집]
“ 함수 [math]\displaystyle{ f:A\to\mathbb{R} }[/math]이 미분가능하고 [math]\displaystyle{ f }[/math]가 [math]\displaystyle{ \mathbf{x}_0\in A }[/math]에서 극소점을 가지면
이다.
- [math]\displaystyle{ Df(\mathbf{x}_0)=\mathbf{0} }[/math]
“
[math]\displaystyle{ f }[/math]가 [math]\displaystyle{ \mathbf{x}_0 }[/math]에서 극솟값을 가지면 [math]\displaystyle{ \mathbf{x}_0 }[/math]의 근방에 속한 임의의 [math]\displaystyle{ \mathbf{x} }[/math]에 대해
- [math]\displaystyle{ f(\mathbf{x})\ge f(\mathbf{x}_0) }[/math]
이다. 그러면 영이 아닌 [math]\displaystyle{ \mathbf{u} }[/math]가 주어졌을 때, 충분히 작은 [math]\displaystyle{ t\in \mathbb{R} }[/math]에 대해
- [math]\displaystyle{ f(\mathbf{x}_0+t\mathbf{u})-f(\mathbf{x}_0)\ge 0 }[/math]
이다. 이때 [math]\displaystyle{ \mathbf{x}_0 }[/math]에서 [math]\displaystyle{ \mathbf{u} }[/math]에 대한 [math]\displaystyle{ f }[/math]의 방향도함수 [math]\displaystyle{ f(\mathbf{x}_0;\mathbf{u}) }[/math]는
- [math]\displaystyle{ f(\mathbf{x}_0;\mathbf{u})=\lim_{t\to 0}\frac{f(\mathbf{x}_0+t\mathbf{u})-f(\mathbf{x}_0)}{t} }[/math]
인데,
- [math]\displaystyle{ \lim_{t\to +0}\frac{f(\mathbf{x}_0+t\mathbf{u})-f(\mathbf{x}_0)}{t}\ge 0 }[/math]
- [math]\displaystyle{ \lim_{t\to -0}\frac{f(\mathbf{x}_0+t\mathbf{u})-f(\mathbf{x}_0)}{t}\le 0 }[/math]
이고 [math]\displaystyle{ f(\mathbf{x}_0;\mathbf{u}) }[/math]가 존재하므로
- [math]\displaystyle{ f(\mathbf{x}_0;\mathbf{u})=0 }[/math]
이다. [math]\displaystyle{ \mathbf{u} }[/math]가 임의의 값을 가지므로
- [math]\displaystyle{ D_jf(\mathbf{x}_0)=\mathbf{0} }[/math]
이고 따라서 원하는 결론을 얻는다.
진술 1[편집 | 원본 편집]
이제 드디어 본 증명으로 넘어갈 차례가 되었다. 보조정리를 보는 동안 원래 진술이 뭐였는지 까먹었다면 진술 문단으로 가서 다시 보고 오자. 보조정리 1에서 [math]\displaystyle{ f }[/math]가 일대일 함수가 되도록 하는 [math]\displaystyle{ \mathbf{a} }[/math]의 근방[math]\displaystyle{ U_0 }[/math]이 존재한다. 한편 [math]\displaystyle{ \det Df(\mathbf{x} }[/math]이 연속함수이므로 [math]\displaystyle{ Df(\mathbf{x})\ne 0 }[/math]인 [math]\displaystyle{ \mathbf{a} }[/math]의 근방 [math]\displaystyle{ U_1 }[/math]이 존재한다.
같이 보기[편집 | 원본 편집]
참고문헌[편집 | 원본 편집]
- Munkres, J. (1991). Analysis on Manifolds. Redwood City, Calif.: Addison-Wesley Pub., Advanced Book Program. ISBN 0201510359