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* 에르미트 행렬의 대각선 성분은 항상 [[실수]]이다. | * 에르미트 행렬의 대각선 성분은 항상 [[실수]]이다. | ||
* 에르미트 행렬의 [[고윳값]]은 실수이다. | * 에르미트 행렬의 [[고윳값]]은 실수이다. | ||
{{글 숨김 | {{글 숨김|제목=Proof|1=에르미트 행렬 <math>A</math>의 고윳값을 <math>\lambda</math>라 하고, <math>\lambda</math>에 연관된 고유벡터 하나를 골라 <math>\mathbf{x}</math>라 하자. 그러면 | ||
에르미트 행렬 <math>A</math>의 고윳값을 <math>\lambda</math>라 하고, <math>\lambda</math>에 연관된 고유벡터 하나를 골라 <math>\mathbf{x}</math>라 하자. 그러면 | |||
: <math>\begin{align} | : <math>\begin{align} | ||
\lambda \mathbf{x}^\dagger \mathbf{x} &= \mathbf{x}^\dagger (\lambda \mathbf{x})\\ | \lambda \mathbf{x}^\dagger \mathbf{x} &= \mathbf{x}^\dagger (\lambda \mathbf{x})\\ | ||
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&=\overline{\lambda}\mathbf{x}^\dagger \mathbf{x} | &=\overline{\lambda}\mathbf{x}^\dagger \mathbf{x} | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
이므로 <math>(\lambda - \overline\lambda)\mathbf{x}^\dagger \mathbf{x}=\mathbf{0}</math>을 얻는다. 이때 고유벡터의 정의에 의해 <math>\mathbf{x}\ne \mathbf{0}</math>이므로 <math>\mathbf{x}^\dagger \mathbf{x}\ne 0</math>이고, 따라서 <math>\lambda-\overline{\lambda}=0</math>이므로 원하는 결론을 얻는다. | 이므로 <math>(\lambda - \overline\lambda)\mathbf{x}^\dagger \mathbf{x}=\mathbf{0}</math>을 얻는다. 이때 고유벡터의 정의에 의해 <math>\mathbf{x}\ne \mathbf{0}</math>이므로 <math>\mathbf{x}^\dagger \mathbf{x}\ne 0</math>이고, 따라서 <math>\lambda-\overline{\lambda}=0</math>이므로 원하는 결론을 얻는다.}} | ||
* 에르미트 행렬의 서로 다른 고윳값을 <math>\lambda_1,\lambda_2</math>라고 하고 <math>\mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathbb{C}^n</math>가 각각 <math>\lambda_1</math>과 <math>\lambda_2</math>에 연관된 고유벡터라고 하자. 그러면 <math>\mathbf{x}</math>와 <math>\mathbf{y}</math>는 [[직교]]한다. | * 에르미트 행렬의 서로 다른 고윳값을 <math>\lambda_1,\lambda_2</math>라고 하고 <math>\mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathbb{C}^n</math>가 각각 <math>\lambda_1</math>과 <math>\lambda_2</math>에 연관된 고유벡터라고 하자. 그러면 <math>\mathbf{x}</math>와 <math>\mathbf{y}</math>는 [[직교]]한다. | ||
* 모든 에르미트 행렬은 [[대각화]]할 수 있다. | * 모든 에르미트 행렬은 [[대각화]]할 수 있다. | ||