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{{토막글}} | |||
== 정의 == | == 정의 == | ||
[[복소수]] | [[복소수]] \(x\)가 주어졌을 때, 다음과 같이 정의되는 [[산술적 함수]] | ||
:<math>\sigma_x (n)=\sum_{d|n} d^x</math> | :<math>\sigma_x (n)=\sum_{d|n} d^x</math> | ||
을 '''약수함수(divisor function)'''라고 한다. 이때 | 을 '''약수함수(divisor function)'''라고 한다. 이때 \(d\)는 양의 정수이다. 즉, 약수함수는 양의 정수 \(n\)이 주어졌을 때 \(n\)의 양의 약수의 \(x\)제곱을 모두 더한 값이 함숫값이 되는 [[함수 (수학)|함수]]이다. | ||
== 성질 == | == 성질 == | ||
* | * \(x\)가 [[실수]]이면 약수함수는 [[곱셈적 함수]]이다. | ||
임의의 | 임의의 \(x\)에 대해 <math>\sigma_x (1)=1</math>인 것은 쉽게 보일 수 있다. 이제 서로소인 두 양의 정수 \(m,n\)을 생각하자. 이때 \(m,n\)의 [[소인수분해]]는 유일하게 존재하므로 \(m,n\)의 소인수를 각각 \(p_1,p_2,\cdots,p_s\)와 \(q_1,q_2,\cdots,q_t\)로 표기하면 | ||
: <math>m=p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_s^{e_s}</math> | : <math>m=p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_s^{e_s}</math> | ||
: <math>n=q_1^{f_1}q_2^{f_2}\cdots q_t^{f_t}</math> | : <math>n=q_1^{f_1}q_2^{f_2}\cdots q_t^{f_t}</math> | ||
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&=\sigma_x(m)\sigma_x(n) | &=\sigma_x(m)\sigma_x(n) | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
이다. 따라서 | 이다. 따라서 \(\sigma_x\)는 곱셈적 함수이다. | ||
== 특수한 경우 == | == 특수한 경우 == | ||
\(\sigma_0(n)\)은 \(n\)의 양의 약수의 개수를 나타내며, \(\tau(n)\)으로도 표기한다.<ref name="kimpark">김응태 · 박승안 (2012). 《정수론》. 경문사. 66쪽. ISBN 9788961055956</ref> | |||
\(\sigma_1(n)\)은 \(n\)의 양의 약수의 합을 나타내며, \(\sigma(n)\)으로도 표기한다.<ref name="kimpark" /> | |||
{{각주}} | {{각주}} | ||
[[분류:정수론]] | [[분류:정수론]] | ||