아르키메데스 성질

Archimedian property

개요

어떤 큰 양수 [math]\displaystyle{ c }[/math]와 작은 양수 [math]\displaystyle{ x }[/math]가 있다고 하자. 이 [math]\displaystyle{ x }[/math]를 계속 더해나갈 때, 우리는 그 합이 언젠가는 [math]\displaystyle{ c }[/math]를 넘어설 것이라는 것을 직관적으로 이해하고 있다. 반대로, 어떤 작은 양수 [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math]이 있다고 하자. 직관적으로 우리는 이 [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math]보다 작은 양수가 존재한다고 알고 있다. 하지만, 위 두 성질이 수학적으로 어째서 성립하는지 묻는다면 대부분 "그냥 그런거 아냐?"라는 대답을 듣게 될 것이다. 아르키메데스 성질은 이 두 성질을 수학적으로 나타낸 것이며, 당연하지만 증명이 존재한다.

실해석학에서

• [math]\displaystyle{ a,\,b\in\mathbb{R}^+ }[/math]이라 하자. 그럼 [math]\displaystyle{ na\gt b }[/math]를 만족하는 [math]\displaystyle{ n\in\mathbb{N} }[/math]이 존재한다.
  • [math]\displaystyle{ \forall n\in\mathbb{N},\,na\leq b }[/math]라 가정하자. [math]\displaystyle{ S=\left\{na\mid n\mathbb{N}\right\} }[/math]이라 하면 집합 [math]\displaystyle{ S }[/math]는 공집합이 아니고 [math]\displaystyle{ b }[/math]에 의해 위로 유계이다. Completeness 공리에의해 [math]\displaystyle{ M=\sup S }[/math]가 실수로서 존재하고, [math]\displaystyle{ a\gt 0 }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ M-a\lt M }[/math]이다. [math]\displaystyle{ M-a }[/math]는 상계가 아니므로 적당한 자연수 [math]\displaystyle{ n_0 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ n_0a\gt M-a }[/math]가 성립한다. 그런데 [math]\displaystyle{ \left(n_0+1\right)a\gt M }[/math]이고, [math]\displaystyle{ n_0+1\in\mathbb{N} }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ \left(n_0+1\right)a\in S }[/math]이다. 이는 곧 [math]\displaystyle{ M }[/math]이 상계라는 가정에 모순이다. 따라서 [math]\displaystyle{ na\leq b }[/math]는 모든 자연수 [math]\displaystyle{ n }[/math]에 대해 성립할 수 없고, 곧 적당한 자연수 [math]\displaystyle{ n }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ na\gt b }[/math]가 성립한다.
• 따름정리: 임의의 [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math]에 대해, [math]\displaystyle{ \frac{1}{n}\lt \varepsilon }[/math]을 만족하는 [math]\displaystyle{ n\in\mathbb{N} }[/math]이 존재한다.
  • [math]\displaystyle{ a=1,\,b=\frac{1}{\varepsilon} }[/math]이라 하자. 그럼 아르키메데스 성질에 의해 [math]\displaystyle{ n\gt \frac{1}{\varepsilon} }[/math]을 만족하는 [math]\displaystyle{ n\in\mathbb{N} }[/math]이 존재한다. 즉, [math]\displaystyle{ \frac{1}{n}\lt \varepsilon }[/math]