로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요!=== 뫼비우스 변환 === 몇 가지 뫼비우스 변환이 등거리 사상임을 확인했다. 그런 자연히 드는 의문은 바로 모든 뫼비우스 변환이 등거리 사상인가 일 것이다. 이 의문을 이제 풀어보자. ;보조 정리 {{인용문2|<math>ad-bc=1</math>이라 가정하자. 그럼 <math>f\left(z\right)=\frac{az+b}{cz+d}</math>에 대해 <math>f'\left(z\right)=\frac{1}{\left(cz+d\right)^2}</math>이다.}} {{숨기기|증명| <math>f'\left(z\right)=\frac{a\left(cz+d\right)-c\left(az+b\right)}{\left(cz+d\right)^2}=\frac{ac-bc}{\left(cz+d\right)^2}=\frac{1}{\left(cz+d\right)^2}</math>}} ;정리 {{인용문2|모든 뫼비우스 변환은 등거리 사상이다.}} {{숨기기|증명| <math>\gamma\left(t\right),\,0\leq t\leq1</math>을 힐베르트 평면의 임의의 경로라 가정하자. 그럼, <math>l\left(\gamma\left(t\right)\right)=\int_0^1\frac{\left|\gamma'\left(t\right)\right|}{\Im\left(\gamma\left(t\right)\right)}\mathrm{d}t</math>이다. 한편,<math>f\left(\gamma\left(t\right)\right)=\frac{a\gamma\left(t\right)+b}{c\gamma\left(t\right)+d}</math>이므로, <math>l\left(f\left(\gamma\left(t\right)\right)\right)=\int_0^1\frac{\left|f\left(\gamma\left(t\right)\right)'\right|}{\Im\left(f\left(\gamma\left(t\right)\right)\right)}\mathrm{d}t=\int_0^1\frac{\left|f'\left(\gamma\left(t\right)\right)\gamma'\left(t\right)\right|}{\Im\left(f\left(\gamma\left(t\right)\right)\right)}\mathrm{d}t=\int_0^1\frac{\frac{1}{\left|c\gamma\left(t\right)+d\right|^2}\left|\gamma'\left(t\right)\right|}{\frac{\Im\left(\gamma\left(t\right)\right)}{\left|c\gamma\left(t\right)+d\right|^2}}\mathrm{d}t=\int_0^1\frac{\left|\gamma'\left(t\right)\right|}{\Im\left(\gamma\left(t\right)\right)}\mathrm{d}t</math>이므로, <math>l\left(f\left(\gamma\left(t\right)\right)\right)=l\left(\gamma\left(t\right)\right)</math>이다. 따라서, 뫼비우스 변환은 경로의 길이를 보존한다.}} 앞서, <math>ad-bc<0</math>인 경우에는 켤레 복소수를 취해 뫼비우스 변환을 얻는다고 하였다. 이 경우에도, 같은 증명 방법을 이용해서 일대일 대응이라는 것과 등거리 사상이라는 것을 보일 수 있다. 그러면, 정의역을 조금 더 확장하여 뫼비우스 변환을 다시 정의할 수 있다. ;정의 {{인용문2|뫼비우스 변환이란, <math>f\left(z\right)=\frac{az+b}{cz+d},\,a,\,b,\,c,\,d\in\mathbb{R},\,ad-bc\neq0</math>인 함수를 말한다. 정의역과 치역은 <math>\mathbb{C}\cup\left\{\infty\right\}</math>이며, <math>f\left(-\frac{d}{c}\right)=\infty,\,f\left(\infty\right)=\frac{a}{c}</math>로 정의한다. 한편, <math>ad-bc>0</math>이면 방향을 보존한다고 하며(Orientation Preserving), <math>ad-bc<0</math>이면 방향을 뒤집는다고 한다(Orientation Reversing).}} 편의상, 앞으로는 방향을 보존하는 뫼비우스 변환만을 다루기로 한다. 이제, 뫼비우스 변환의 간단한 성질을 알아보자. ;성질 1 뫼비우스 변환의 역함수도 뫼비우스 변환이다. {{숨기기|증명|<math>f\left(z\right)=\frac{az+b}{cz+d}</math>의 역함수가 <math>g\left(w\right)=\frac{dw-b}{-cw+a}</math>임은 쉽게 알 수 있다. 역함수 역시 방향을 보존한다는 사실도 같이 알 수 있다.}} ;성질 2 두 뫼비우스 변환의 합성함수도 뫼비우스 변환이다. {{숨기기|증명|<math>f\left(z\right)=\frac{az+b}{cz+d},\,g\left(z\right)=\frac{ez+f}{gz+h}</math>라 하자. 그럼, <math>f\circ g\left(z\right)=\frac{\left(ae+bg\right)z+\left(af+bh\right)}{\left(ce+dg\right)z+\left(cf+bd\right)}</math>이다. 즉, 합성함수도 뫼비우스 변환이다. 또한, 방향을 보존한다는 사실도 같이 알 수 있다.}} 혹시 뫼비우스 변환의 역함수와 합성함수가 [[행렬]]과 같다는 것을 눈치챈 사람이 있는가? <math>f\left(z\right)=\frac{az+b}{cz+d}</math>을 <math>\begin{bmatrix}a&&b\\c&&d\end{bmatrix}</math>로 나타내면, 역함수는 <math>\begin{bmatrix}d&&-b\\-c&&a\end{bmatrix}</math>가 되는데, 이는 원래 행렬의 역행렬과 동일하다! 합성 함수 역시 두 행렬의 곱임을 쉽게 알 수 있다. 그럼, 뫼비우스 변환의 집합과 행렬<ref>정확히는 행렬식의 값의 0이 아닌 행렬</ref>의 집합 사이에 사상을 하나 정의할 수 있다. :<math>\phi:GL\left(2,\mathbb{R}\right)\to\left\{\right.</math>뫼비우스 변환<math>\left.\right\}</math>, <math>\begin{bmatrix}a&&b\\c&&d\end{bmatrix}\mapsto\frac{az+b}{cz+d}</math> 한편, 합성함수가 행렬의 곱과 같다는 사실을 확인했으므로, <math>\phi\left(AB\right)=\phi\left(A\right)\phi\left(B\right)</math>이고, 이는 곧 저 사상이 [[준동형사상]]임을 의미한다. 또한, 저 사상이 전사 함수임은 자명하다. 따라서, 동형 사상 정리에 의해 <math>GL\left(2,\mathbb{R}\right)/\ker\phi\cong\left\{\right.</math>뫼비우스 변환<math>\left.\right\}</math>이다. 이제 [[핵 (수학)|핵]]을 찾아야 하는데, 핵이 <math>xI</math>임을 쉽게 보일 수 있다. 즉, 뫼비우스 변환의 집합은 (곱하는 상수를 무시한) 행렬의 집합과 동형이라는 것을 알 수 있다. 이는 곧 뫼비우스 변환을 행렬로 변환하여 생각해줄 수 있다는 것을 의미한다. 뫼비우스 변환에 대해 마지막으로 알아야할 것은, 측지선이 어떻게 변환되냐이다. 이를 알기 전에 측지선의 특징을 하나 알고 가자. ;정리 {{인용문2|측지선은 <math>Az\bar{z}+B\left(z+\bar{z}\right)+C=0</math>의 형태를 가지고 있다. 반대로, 이 형태를 가지고 있으면 측지선이다.}} {{숨기기|증명| 측지선이 수직선과 반원인 것은 이미 설명했다. 수직선은 <math>z+\bar{z}=k</math>의 형태이며, 반원은 <math>\left|z-c\right|=r</math>의 형태이다. 수직선은 이미 보이고자 하는 형태이므로, 반원만 체크해주면 된다. 우선, 양변을 제곱하면, <math>\left(z-c\right)\left(\bar{z}-c\right)=r^2</math>이고, 정리하면 원하는 형태라는 것을 쉽게 확인할 수 있다.<br />역으로, <math>Az\bar{z}+B\left(z+\bar{z}\right)+C=0</math>의 형태를 가진 선이 존재한다고 가정하자. 만약 <math>A=0</math>이면, 저 선은 수직선이고, 수직선은 곧 측지선이다. 만약 <math>A\neq0</math>이면, <math>z\bar{z}+\frac{B}{A}\left(z+\bar{z}\right)=-\frac{C}{A}</math>이다. <math>-\frac{B}{A}=c,\,r^2=-\frac{C}{A}+\frac{B^2}{A^2}</math>로 정의하면, 주어진 식은 <math>\left|z-c\right|=r</math>이 되는 것을 쉽게 확인할 수 있다. 만약 <math>r^2<0</math>이라면, 공집합이 된다.}} 이제, 뫼비우스 변환의 생성함수를 알아보자. #<math>f:z\mapsto z+l</math> #<math>f:z\mapsto kz,\,k>0</math> #<math>f:z\mapsto-\frac{1}{z}</math> #<math>f:z\mapsto-\bar{z}</math> 방향을 보존하는 뫼비우스 변환은 1, 2, 3으로 쉽게 만들 수 있고, 방향을 뒤집는 뫼비우스 변환은 4를 한 번 끼얹어 주면 된다는 것을 쉽게 알 수 있다. 이제, 뫼비우스 변환이 측지선을 어떻게 바꾸는지 알아보자. ;정리 {{인용문2|뫼비우스 변환은 측지선을 측지선으로 옮긴다.}} {{숨기기|증명| <math>Az\bar{z}+B\left(z+\bar{z}\right)+C=0</math>에 네 가지 생성함수를 끼얹은 뒤, 같은 형태인지 확인하면 된다. {{ㅊ|더이상의 자세한 증명은 생략한다.}}<br />한 가지 특이한 점은, 1, 2, 4번 생성함수는 수직선은 수직선으로, 반원은 반원으로 바꾸지만, 3번 생성함수만은 수직선과 반원을 뒤바꾼다.}} 여기까지 이해했으면, 드디어 힐베르트 평면에서 두 점 사이의 최단 거리를 구할 수 있다. 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț